선학동 고등수학과외

성분별 곱이 0이 아니어도 수직일 수 있는 이유

기하에서 벡터의 내적과 각을 다룰 때는 답의 모양보다 어떤 수를 계산하고 있는지 먼저 확인해야 한다. 예를 들어 a=(1,2), b=(2,−1)이 수직인지 판단하라는 문제에서, 이렇게 답했다면 성분별로 1·2와 2·(−1)이 각각 0이 아니므로 수직이 아니라고 생각한 셈이다. 하지만 두 벡터가 수직인지 판정하는 기준은 각 성분의 곱이 각각 0인지가 아니라 내적의 값이 0인지에 있다. 따라서 오답 하나만 보고 개념을 확정하지 않고, “내적을 두 성분의 곱으로 이루어진 벡터라고 생각했는가?”, “두 곱을 계산한 뒤 어떻게 처리해야 하는가?”라고 묻는다.

내적을 하나의 실수로 계산하고 수직 조건과 연결하기

내적은 성분 곱의 합으로 얻는 하나의 실수다. 그러므로 a·b=1·2+2·(−1)=2−2=0으로 계산한다. 또 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때 a·b=|a||b|cosθ를 사용할 수 있다. 이 문제의 벡터 크기는 각각 √5이므로 cosθ=0/(√5·√5)=0이고, 벡터 사이의 각은 θ=π/2이다. 여기서 교사는 계산 결과와 수직이라는 결론을 한꺼번에 말하기보다, “내적이 0이면 cosθ는 얼마인가?”, “그 값이 나타내는 각은 무엇인가?”를 확인해 학생이 근거를 직접 완성하게 한다. 학생은 두 벡터가 영벡터가 아니고 내적이 0이므로 서로 수직이라고 다시 작성할 수 있다. 이때 영벡터가 포함되면 방향과 각의 정의를 같은 방식으로 적용할 수 없으므로, 크기와 정의 조건도 함께 표시해야 한다.

바뀐 조건에서도 계산과 판정을 구별해 다시 확인하기

계산 절차가 자리 잡았는지는 표현만 바꾼 문장이 아니라 조건이 실제로 달라진 문제에서 확인한다. 풀이와 정답, 유도 표시는 가리고 문제와 조건만 남긴다. 예를 들어 a=(1,2), b=(3,−1)의 내적을 구하라는 문제와 필기구를 준비하고, 성분 곱을 적은 뒤 마지막에 더해 하나의 수로 만드는 과정을 직접 쓰게 한다. 학생은 a·b=1·3+2·(−1)=3−2=1을 얻고, 정답이 1임을 확인한다. 이 질문은 수직인지 묻는 것이 아니라 내적의 값을 구하는 것이므로 0인지 여부만으로 결론을 내리지 않는다. 앞 문제에서 유지해야 할 것은 성분 곱의 합이라는 계산 방법이고, 달라진 것은 두 번째 벡터의 성분과 질문의 목적이다. 마지막에는 학생이 교사가 제시한 첫 계산 단계를 보지 않고 내적을 수로 나타내는 식, 수직일 때 필요한 조건, 그 이유를 순서대로 적게 한다. 이어 계산 결과를 분배해 대조하고, 영벡터 여부와 크기 조건까지 표시하게 하면 답만 맞힌 것이 아니라 내적의 정의와 수직 판정 근거를 함께 점검할 수 있다.