옥련지구 고등수학과외

치환적분은 안쪽 함수의 모양만 보고 결정할 수 없다. 기본 문제의 적분식과 새 문제의 적분 범위를 나란히 놓으면, 인자와 조건 하나가 달라질 때 결론과 확인 방법도 달라진다. ∫2x cos(x²) dx는 x∈R에서 원시함수를 구하는 문제지만, ∫₀¹2x e^(x²) dx는 양 끝값을 함께 바꾸어 계산하는 정적분이다. 식의 표현만 바뀐 경우와 실제 적분구간이 달라진 경우를 구별해야 한다.

2x가 빠지지 않았는지 먼저 표시하기

이렇게 답했다면 풀이를 곧바로 능력이나 개념의 문제로 단정하지 않는다. 예를 들어 ∫2x cos(x²) dx에 2x sin(x²)+C라고 썼다면, 학생에게 먼저 결과를 미분해 원래 식과 대조하게 한다. 미분 결과에는 곱의 미분으로 다른 항이 생기므로 원식과 정확히 일치하지 않는다. 그다음 “u=x²의 미분 du는 무엇인가?”라고 묻고, 치환의 미분 인자·적분구간·정의역을 놓쳤는지, 원시함수와 정적분을 구별하는지 짧게 확인한다. 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않고 학생이 식에 2x dx를 직접 표시하게 한다.

치환과 부분적분을 식의 구조로 비교하기

u=x²로 두면 du=2x dx이므로 주어진 인자가 한꺼번에 새 변수로 바뀐다. 따라서 적분은 ∫cos u du가 되고, 학생은 중간 결과를 확인한 뒤 왜 이 방법을 선택했는지 문장으로 설명한다. 부분적분은 곱의 미분을 역으로 사용하는 방법이므로, 안쪽 함수의 미분 인자가 그대로 곱해진 이 문제와는 출발점이 다르다. 치환적분에서는 함수만 u로 바꾸는 것이 아니라 미분 인자와 새 변수의 구간도 함께 바꾼다는 점을 계산 옆에 적는다. 기본 문제에서는 x∈R이라는 정의역 안에서 u=x²가 정해지며, 원시함수의 상수는 C∈R이다.

수정 풀이를 끝까지 미분하고 양 끝값을 대조하기

학생이 직접 다시 쓰는 풀이는 ∫cos u du=sin u+C=sin(x²)+C이다. 이를 미분하면 cos(x²)·2x가 되어 원래 적분식이 정확히 복원된다. 여기서 수치 하나를 넣는 것은 항등성을 대신하는 증명이 아니라 부분 검산일 뿐이며, 최종 판단은 미분 결과와 일반적인 치환 관계로 내린다. 이어서 범위가 있는 문제를 독립적으로 시작한다. ∫₀¹2x e^(x²) dx에서 u=x²로 두고 x=0일 때 u=0, x=1일 때 u=1을 함께 적으면 ∫₀¹eᵘdu=e−1이다. 원시함수 e^(x²)를 직접 미분해 2x e^(x²)를 복원한 뒤 원래 끝점에 대입해도 e−1이므로 정답과 부호를 다시 확인할 수 있다. 마지막에는 문제의 식·범위·필수 자료만 남기고 풀이와 정답을 가린다. “u=x²의 미분 du는 무엇인가?”에 맞는 근거를 고른 뒤, 학생이 수정 풀이를 다시 쓰는지 살핀다. 결과가 의심되면 원시함수의 미분, 정적분의 양 끝값과 부호를 차례로 대조한다.