연수지구 고등수학과외

네 항의 합에서 왜 지수 3이 나왔을까

등비수열의 합을 구하는 대표 문제로 a₁=1, r=2인 등비수열의 첫 4항의 합을 살펴보자. 조건에 따라 네 항은 1, 2, 4, 8이고, 구해야 할 값은 이 네 수의 합이다. 그런데 풀이에 (2³−1)/(2−1)=7이라고 적었다면, 계산 자체보다 식이 가리키는 대상을 먼저 확인해야 한다. 이 식의 값 7은 1+2+4, 즉 세 항의 합에 해당한다. 네 번째 항의 지수가 3이라는 사실과 네 항을 더하는 합 공식의 지수를 그대로 같게 본 것이 문제의 출발점일 수 있다.

항 번호와 합의 개수를 나누어 확인하기

교사는 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고 “네 번째 항의 지수 3과 네 항 합 공식의 지수 4를 구분했는가?”라고 묻는다. 이어 공비와 증가량을 혼동했는지, 공비가 1이거나 음수인 경우에도 같은 식을 적용하려 했는지 확인한다. aₙ=a₁rⁿ⁻¹에서 n은 항의 번호이고 지수는 n−1이므로, 네 번째 항은 2³이다. 반면 합 공식 Sₙ=a₁(rⁿ−1)/(r−1)은 r≠1일 때 사용할 수 있으며, 여기서 n은 더하는 항의 개수다. 계산 전에 r−1이 0인지 살피는 습관도 필요하다. S=1+2+4+8, 2S=2+4+8+16을 위아래로 놓고 빼면 2S−S=16−1이 된다. 학생이 직접 이 등식을 작성하면 S=15를 얻고, 끝 항의 지수와 항 개수를 구별한 이유도 확인할 수 있다.

직접 더한 값과 조건을 바꾸었을 때의 판단

수정한 답 15는 1+2+4+8을 직접 더한 값과 일치한다. 따라서 공식을 외운 결과인지, 네 항을 실제로 확인한 결과인지 대조할 수 있다. 다음에는 등비수열의 항을 더한다는 뜻과 필수 조건만 남긴 자료에서 a₁=5, r=1인 첫 6항의 합을 판단한다. 앞서 쓴 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 먼저 여섯 항을 직접 적고, 공식을 적용할 수 있는지 확인해야 한다. r=1이면 합 공식의 분모 r−1이 0이 되어 나눌 수 없고, 분자까지 0이 되는 0/0은 0이 아니라 정의되지 않은 식이다. 모든 항이 5이므로 합은 5를 여섯 번 더한 30이다. 표현만 바꾼 문제인지 조건 자체가 달라진 문제인지 구별하는 과정이 중요하다. 공비의 부호가 헷갈리면 연속한 네 항을 써서 부호 변화를 표시하고, 기본 문제를 다시 푼 뒤에는 답을 기억하지 않은 상태에서 조건을 바꾼 경우에도 같은 확인 순서를 적용한다.