신방지구 고등수학과외

미적분Ⅰ의 연속과 사잇값 정리를 공부할 때는 정리의 결론보다 먼저 조건을 확인해야 한다. 대표 문제로 $f(x)=1/x$, 정의역 $(0,1]$에서 최댓값과 최솟값의 존재 여부를 구해 보자. 이렇게 답했다면 “유한한 구간이므로 최댓값과 최솟값이 모두 있다”는 판단이지만, 구간의 길이가 유한하다는 사실만으로는 최대·최소 정리를 적용할 수 없다.

유한한 구간이라는 판단에서 빠진 조건 찾기

처음 풀이에서 어느 판단이 빠졌는지 확인하려면 “구간이 닫혀 있고 함수가 그 전체에서 연속인가?”라고 묻는다. 최대·최소 정리는 함수가 닫힌 구간 전체에서 연속일 때 최댓값과 최솟값이 존재한다고 말한다. 따라서 구간의 양 끝이 모두 포함되는지, 함수가 모든 입력에서 정의되는지, 각 점에서 함숫값과 극한이 일치하는지를 나누어 살펴봐야 한다.

이 함수는 $x=0$에서 정의되지 않으며, 정의역의 왼쪽 끝에도 0이 포함되지 않는다. 또한 $x$가 0에 가까워질수록 $1/x$는 제한 없이 커진다. 교사는 설명을 반복하기보다 학생에게 $0<x\le1$에서 $1/x\ge1$인지, $x$ 대신 $x/2$를 넣었을 때 값이 어떻게 바뀌는지 직접 적게 한다. 한 점에서의 연속 조건과 구간 전체에서의 연속 조건을 구분하면, 왜 닫힌 구간 조건이 필요한지도 확인할 수 있다.

조건을 표시한 뒤 수정 풀이 완성하기

학생은 먼저 $0<x\le1$이므로 $1/x\ge1$이라고 쓰고, $x=1$일 때 $f(1)=1$이므로 최솟값은 1이라고 정리한다. 반면 최댓값은 없다고 판단한다. 실제로 허용된 $x$를 하나 정한 뒤 $x/2$를 택하면 여전히 $0<x/2\le1$이고, $f(x/2)=2f(x)$가 된다. 어떤 함수값을 골라도 더 큰 함수값을 만들 수 있으므로 최댓값에 도달하는 입력은 없다.

따라서 정답은 최솟값 1, 최댓값 없음이다. 이때 $1/x$가 항상 1 이상이라는 부등식은 최솟값을 확인하는 근거이고, $x/2$를 통한 비교는 최댓값이 없음을 확인하는 부분 검산이다. 단순히 끝값을 대입하는 것이 아니라 정의역의 제외 조건까지 함께 확인해야 한다.

닫힌 구간과 열린 끝점을 바꾸어 다시 판단하기

같은 개념을 적용하되 조건이 실제로 바뀐 문제를 비교해 보자. $f(x)=1/x$, 정의역 $[1,2]$에서는 0이 구간에 없고 함수가 닫힌 구간 전체에서 연속이다. 또 $1\le x\le2$이면 역수의 대소 관계에 따라 $1/2\le1/x\le1$이 성립한다. 그러므로 $x=1$에서 최댓값 1, $x=2$에서 최솟값 $1/2$를 얻는다.

배움노트 고등수학 수업에서는 이 두 문제를 다시 풀 때 정답과 풀이를 가린 뒤, 먼저 경계값과 제외된 입력을 표시하게 한다. 그다음 “구간의 끝점이 모두 포함되는가”, “함수가 구간 전체에서 연속인가”를 한 문장으로 적고 값을 비교한다. 표현만 바뀐 문제인지 실제 정의역 조건이 달라진 문제인지도 구분해야 한다. 끝값만 보고 결론을 내리지 않고, 중간의 끊김과 금지된 입력이 없는지 먼저 점검하는 순서가 다음 학습에서도 유지되어야 한다.