청수동 고등수학과외

“x=1 또는 −1에서 절댓값의 값은 얼마인가?”

이차함수의 최대·최소를 살필 때는 꼭짓점만 찾는 습관이 조건에 따라 달라질 수 있다. 예를 들어 f(x)=|x²−1|, −2≤x≤2의 최솟값과 그때의 x를 구하는 문제에서 먼저 “x=1 또는 −1에서 절댓값의 값은 얼마인가?”라고 묻는다. 학생이 두 점에서 모두 0이라고 답했다면, 처음 적은 식과 실제 계산 결과를 직접 대조하게 한다. 반대로 원래 이차식의 꼭짓점 x=0을 떠올려 f(0)=1이라고 했다면, 절댓값을 붙인 뒤에도 원래 이차함수의 꼭짓점이 항상 최솟값인지, 아니면 제곱식이 0이 되는 입력을 놓쳤는지 나누어 확인한다. 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, x=1과 x=−1을 대입해 안쪽 식과 전체 식의 값을 각각 표시하게 한다.

안쪽 식의 영점과 정의역을 먼저 대조하기

절댓값은 어떤 실수를 넣어도 결과가 0 이상이다. 따라서 |x²−1|의 최솟값을 찾을 때는 원래 이차식의 꼭짓점보다 먼저 x²−1=0이 되는 허용 입력이 있는지 살펴보는 것이 기준이다. x²−1=0에서 x=−1 또는 1이고, 두 값은 모두 −2≤x≤2를 만족한다. 학생이 직접 x²−1=0을 풀고 f(−1)=0, f(1)=0을 계산해 적으면, 0보다 작은 값은 절댓값의 성질상 나올 수 없고 실제로 0을 얻었으므로 최솟값은 0이라는 결론을 검산할 수 있다. 교사는 “절댓값은 0 이상이며 안쪽 식이 0이면 최솟값 후보가 된다”는 기준만 비교해 주고, 어떤 값을 대입하고 답을 선택할지는 학생이 이어서 수행하게 한다. 다만 이 과정을 모든 절댓값 함수에 그대로 적용해 원래 꼭짓점이나 영점만 무조건 답으로 정하지 않도록, 반드시 정의역과 식의 성립 조건을 함께 확인한다.

정수 정의역에서는 가까운 허용 입력을 모두 비교하기

같은 기준을 다른 조건에 적용해 보자. 정수 x∈{0,1,2,3}에서 f(x)=(x−3/2)²의 최솟값을 구할 때는 연속 구간처럼 x=3/2에서 값 0을 얻을 수 있다고 쓰면 안 된다. 3/2는 허용된 정수가 아니므로, 먼저 이를 가까이에서 둘러싼 허용 입력 1과 2를 표시한다. 이어 네 값을 직접 계산하면 x=0,1,2,3에서 각각 9/4, 1/4, 1/4, 9/4가 되어 최솟값은 1/4이고 x=1 또는 2에서 달성된다. 유한한 정의역에서는 네 점을 모두 조사했다는 사실이 검산 근거가 된다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 문제의 조건과 식은 남겨 두고 풀이와 정답을 가린 뒤, 학생이 먼저 “절댓값 안쪽의 영점이 정의역에 있는가” 또는 “허용 입력 중 어떤 값이 기준점에 가장 가까운가”를 다시 적게 한다. 이후 표현만 바뀐 문제와 실제 정의역이 바뀐 문제를 구분해, 같은 근거를 조건에 맞게 조정하는지 확인한다.