청수지구 고등수학과외

검산이 예시 오답과 어긋난 지점

제한된 역함수의 범위를 구할 때, 이렇게 답했다면 검산 결과와 바로 맞지 않는 부분부터 살펴볼 수 있다. 조건이 f:[1,∞)→[3,∞), f(x)=2x+1일 때 역함수 식은 (x−1)/2로 계산되지만, 정의역까지 [1,∞)라고 쓰면 역함수에 넣을 수 있는 입력의 범위를 잘못 옮긴 셈이다. 실제로 이 식에 1을 넣으면 0이 나오며, 원래 함수의 입력 조건 x≥1과 원래 함수의 출력 조건 y≥3를 구별해야 한다. 다만 이 한 번의 계산만으로 원인을 확정하지 않고, 함수 적용 순서를 혼동했는지와 입·출력의 대응을 뒤집지 않았는지를 나누어 확인한다.

출력 범위를 역함수의 정의역으로 바꾸기

먼저 “원래 함수의 출력 범위가 역함수에서는 무엇이 되는가?”라고 묻고, 학생이 주어진 자료에서 직접 표시하게 한다. 합성함수는 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 입력으로 들어가지만, 역함수는 원래의 입력과 출력을 서로 뒤집는다. y=2x+1에서 x≥1이면 y≥3이므로, 역함수에서는 y≥3인 값을 입력으로 받아야 한다. y를 x로 되돌리면 x=(y−1)/2이고, 기호를 바꾸어 f⁻¹(x)=(x−1)/2가 된다. 따라서 학생은 계산 결과와 성립 조건을 따로 적어 f⁻¹의 정의역은 [3,∞), 치역은 [1,∞)라고 수정한다. 입력 3을 넣으면 (3−1)/2=1이 되어 원래 함수의 경계 입력 1로 돌아오므로 경계 대응도 맞는다. 배움노트 고등수학 수업에서는 식의 모양만 맞추는 데서 끝내지 않고, 어느 범위가 입력으로 이동했는지 표시하게 한다.

조건을 남긴 채 풀이를 다시 구성하기

풀이 순서와 정답을 가린 상태에서 문제와 조건만 남겨 두고, 학생이 직접 역함수의 범위를 구성하게 한다. 이번에는 f:R→R, f(x)=3x−2를 두고 y=3x−2에서 x=(y+2)/3으로 푼 뒤 입·출력 기호를 바꾸도록 한다. 그러면 f⁻¹(x)=(x+2)/3이고 정의역은 R이다. 앞 문제처럼 원래 입력 범위가 [1,∞)로 제한되어 있으면 출력 범위가 [3,∞)로 달라져 역함수의 정의역도 제한되지만, 이번 함수는 입력과 출력이 모두 실수 전체이므로 제한이 생기지 않는다. 학생은 기호만 바꾸는 데 그치지 않고 구체적인 입력 하나를 두 단계로 적는다. 예를 들어 4를 역함수에 넣어 2를 얻고, 다시 원래 함수에 넣어 4를 얻는다. 이어 f(f⁻¹(x))=x와 f⁻¹(f(x))=x를 각각 전개해 확인한다. 이후 같은 조건을 유지한 문제와 실제 범위를 바꾼 문제를 구별해, 풀이·정답·유도 표시를 가린 자료에서 정의역을 먼저 표시하는지, 계산 결과가 검산과 일치하는지 다음 점검에서 살핀다.