금사동 고등수학과외

수직 접선에서는 기울기를 구하려고 무조건 나누면 안 된다. 원 x²+y²=25 위 점 (5,0)에서 접선을 구하는 상황에서 y로 나누는 순간 분모가 0이 되기 때문이다. 이렇게 답했다면 “0으로 나눈 값을 0이라고 둘 수 있는가?”를 먼저 확인한다. 0으로 나눈 값은 0이 아니며, 해당 계산은 성립하지 않는다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 이 경계값을 작은 반례로 확인한 뒤, 단순히 계산 실수라고 단정하지 않고 y가 x에 따라 달라진다는 점을 놓쳤는지, 음함수 미분은 알고도 y=0에서 나누기를 멈추지 못했는지를 나누어 살핀다.

원식을 미분하고 나눌 수 있는 조건 표시하기

x²+y²=25를 x에 대해 미분하면 2x+2y y′=0이다. y≠0일 때에만 2y로 나누어 y′=−x/y라고 쓸 수 있다. 따라서 (5,0)에서는 y′=−5/0이라는 식을 계산해 y′=0으로 바꿀 수 없다. 학생이 유한한 기울기가 있는지 직접 표시하게 하면, 이 점에서는 y를 x의 함수로 나타낸 그래프의 유한 기울기를 얻을 수 없다는 사실을 확인할 수 있다. 반지름은 중심 (0,0)에서 점 (5,0)으로 향해 x축 방향이고, 접선은 반지름에 수직이어야 하므로 접선은 세로선 x=5이다. 미분식에서 나눌 수 있는 조건과 도형의 위치 관계를 따로 적어 계산 결과와 식의 성립 여부를 구분한다.

수정 풀이와 원식 대조로 정답 확인하기

학생은 y′=−5/0=0이라는 단계를 지우고, 먼저 y=0인지 확인한 뒤 나눗셈을 중단한다. 이후 점의 위치와 반지름의 방향을 이용해 접선을 x=5로 정리한다. x=5를 원식에 대입하면 25+y²=25이므로 y²=0, 즉 y=0만 남는다. 따라서 직선 x=5는 원과 (5,0)에서 만나며 그 점에서 접한다. 이 확인은 기울기를 억지로 수치화한 결과가 아니라, 원식과 접점 조건이 함께 성립하는지 검산한 것이다. 같은 표현이라도 y≠0인 경우에는 y′=−x/y를 사용할 수 있고, y=0인 경우에는 그 식을 사용할 수 없다는 차이를 표시한다.

조건을 바꾼 재적용과 다음 점검

풀이와 정답, 유도 표시는 가리고 원의 식과 접점 조건만 남긴 자료에서 다시 시작한다. 이번에는 원 x²+y²=25 위 점 (3,4)에서 접선 기울기를 구한다. 2x+2y y′=0을 먼저 남긴 뒤 y=4이므로 나눌 수 있음을 확인하고 y′=−x/y에 (3,4)를 대입하면 −3/4이다. 반지름의 기울기 4/3과 곱하면 −1이므로 접선과 수직이라는 검산도 성립한다. 처음 문제와 풀이 원리는 같지만 접점의 y좌표가 0에서 4로 바뀌었으므로, 같은 표현 변경과 실제 조건 변경을 구별해야 한다. 마지막에는 y로 나누기 전 y=0인지 직접 표시하고, 0이면 도형의 위치 관계로 수직 접선을 판단하는지 확인한다.