금성동 고등수학과외

3·3·2=18. 이 식은 0, 1, 2, 3을 중복 없이 써 세 자리 자연수를 만들 때, 맨 앞에 0을 놓지 못한다는 조건을 반영한 수정 풀이입니다. 처음부터 이 식을 외우기보다 어떤 자리를 먼저 정하고, 각 자리에서 가능한 선택이 어떻게 달라지는지 확인해야 합니다.

배움노트 고등수학 수업에서 세 자리 자연수의 첫 자리 조건 확인하기

4·3·2=24에서 빠진 판단 찾기

문제는 0, 1, 2, 3을 중복 없이 사용해 세 자리 자연수를 만드는 경우의 수를 묻습니다. 이렇게 답했다면 “4·3·2=24”라고 계산한 것입니다. 각 자리에 네 수 중 하나, 남은 세 수 중 하나, 다시 남은 두 수 중 하나를 놓았으므로 순서를 고려한 배열의 계산 자체는 자연스럽습니다. 그러나 이 배열에는 012처럼 백의 자리가 0인 경우도 들어 있습니다. 백의 자리가 0인 배열이 세 자리 자연수인지 먼저 물어 보면서, 순서가 있는 결과를 세는 과정과 첫 자리 제한을 계산에 반영했는지를 구분합니다.

조건을 식으로 바꾸어 직접 고치기

서로 다른 결과가 무엇인지 정한 뒤, 한 결과가 몇 번 세어졌는지 대조합니다. 백의 자리는 1, 2, 3 중 하나이므로 3가지입니다. 백의 자리를 정하면 십의 자리에는 남은 세 수가 모두 올 수 있고, 일의 자리에는 그중 두 수가 남습니다. 따라서 학생이 직접 3·3·2=18을 작성하게 합니다. 이때 0은 첫 자리에는 올 수 없지만 뒤의 두 자리에는 올 수 있다는 점을 말로만 반복하지 않고, 각 자리의 선택 수에 표시하게 합니다. 전체 배열 4·3·2=24에서 0으로 시작하는 배열 3·2=6을 빼도 24-6=18이므로 두 계산이 같은 결론을 가리키는지 검산할 수 있습니다.

표현이 바뀐 경우와 조건이 바뀐 경우 비교하기

배움노트 고등수학 수업에서는 같은 풀이를 기억했는지보다 조건을 읽고 다시 판단하는지를 확인합니다. 문제의 대상이 세 자리 자연수가 아니라 길이 3의 코드 문자열이라면, 0을 첫 자리에 놓을 수 있는지가 달라집니다. 0, 1, 2, 3을 중복 없이 써 012도 허용하는 코드라면 첫 자리에도 네 기호가 모두 올 수 있으므로 4·3·2=24, 정답은 24개입니다. 앞자리에 0이 있는 3·2=6개와 없는 자연수 형태 18개를 합해도 24개입니다. 이는 표현만 바꾼 것이 아니라 첫 자리의 허용 조건이 실제로 달라진 경우입니다.

이 판단을 다시 적용할 때는 문제와 조건만 남겨 둡니다. 0, 1, 2, 3을 중복 없이 써 길이 3의 코드 문자열을 만들고 012를 허용한다는 자료를 제시한 뒤, 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 첫 자리의 선택 수를 학생이 직접 표시하게 합니다. 기본 자연수 문제를 다시 푼 다음 코드 문제를 풀면 답을 기억한 것인지 새 조건을 해석한 것인지 구별할 수 있습니다. 계산식만 빠르게 쓰면 네 기호로 가능한 목록 일부를 실제로 만들어 중복이나 누락을 찾고, 마지막에는 첫 자리 조건이 바뀔 때 식과 결론이 함께 바뀌는지 확인합니다.