두구동 고등수학과외

성분별로 0을 만드는지, 내적의 합을 0으로 만드는지

기하에서 수직을 만드는 매개변수를 찾을 때는 답의 모양보다 어떤 조건을 사용했는지가 중요하다. 문제에서 벡터 a=(1,t), b=(2,−1)이 수직일 때 실수 t를 구하라고 했다면, 먼저 두 벡터가 영벡터가 아님을 확인하고 수직의 판정 기준을 선택해야 한다. 이렇게 답했다면 “각 성분이 따로 0이어야 하므로 가능한 t가 없다”는 결론에 이를 수 있다. 하지만 이 판단은 내적을 성분별 곱으로 이루어진 벡터처럼 해석한 경우에 해당한다. 수직 조건에서 두 성분의 곱을 각각 0으로 만드는지, 아니면 성분 곱의 합을 0으로 만드는지 설명하게 하여 어느 단계에서 생각이 갈렸는지 확인한다.

내적을 실수로 계산하고 수직 조건을 식으로 완성하기

두 벡터의 내적은 각 성분을 곱한 뒤 더한 실수이다. 따라서 a·b=1×2+t×(−1)=2−t가 된다. 또 두 벡터가 이루는 각을 θ라고 하면 a·b=|a||b|cosθ이며, 각은 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때 정의된다. 수직인 두 벡터의 사이각은 90°이므로 cosθ=0이고, 내적은 0이어야 한다. 여기서 교사는 식을 모두 대신 완성하지 않고 “수직 조건을 이 식에 어떻게 연결할까?”라고 묻는다. 학생이 직접 2−t=0을 세우고, 양변을 정리하여 t=2를 얻도록 한다. 그다음 a=(1,2), b=(2,−1)을 다시 대입해 1×2+2×(−1)=0인지 표시하며 계산과 조건을 대조한다. 두 벡터 모두 영벡터가 아니므로 수직 판정도 성립한다. 이처럼 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 내적을 어떻게 정의했는지와 각의 정의 조건을 확인하는 질문을 함께 사용한다.

영벡터가 포함된 경우까지 독립적으로 재적용하기

고친 풀이를 그대로 외우지 않으려면 문제와 조건만 남기고 풀이 과정, 정답, 유도 표시를 가린 상태에서 다시 시작한다. 새 문제는 a=(0,0), b=(1,2)일 때 내적과 사이각의 정의 여부를 구하는 것이다. 먼저 내적은 0×1+0×2=0으로 계산된다. 그러나 |a|=0이므로 cosθ=(a·b)/(|a||b|)에서 분모가 0이 되어 사이각을 구할 수 없다. 따라서 내적은 0이지만 사이각은 정의되지 않는다. 여기서는 “내적이 0이면 언제나 수직”이라고 결론 내리지 않고, 영벡터가 아닌 두 벡터라는 조건이 빠졌는지 확인해야 한다. 이후 수정 전후 풀이를 섞어 제시하고 수직을 만드는 매개변수 문제에 맞는 단계를 골라 순서를 복원하게 한다. 부호만 보고 각을 확정하지 말고 두 벡터의 크기와 내적을 각각 계산하게 하며, 표현만 바뀐 문제와 실제 조건이 바뀐 문제도 구별한다. 다음 점검에서는 다른 매개변수와 음의 내적을 가진 벡터를 제시해, 학생이 내적의 의미와 사이각의 정의 조건을 함께 설명하는지 확인한다.