구서동 고등수학과외

조건을 표시하지 않은 증가·감소 판단

배움노트 고등수학 수업에서 다음과 같은 풀이를 만났다고 하자. “$f(x)=x^3-3x$에서 $f'(x)=3(x-1)(x+1)$이므로 $-1<x<1$에서 증가한다.” 식을 미분한 결과와 경계점은 찾았지만, 인수의 부호를 구간별로 확인하지 않고 결론을 적은 상태다. 먼저 문제의 범위가 실수 전체인지 표시하고, 증가·감소는 한 점에서의 도함수 값이 아니라 각 구간 전체에서의 도함수 부호로 판단한다는 조건을 복원해야 한다.

확인 질문으로 원인을 나누고 부호를 직접 쓰기

이 오답 하나만으로 개념을 모른다고 단정하지 않는다. 평균값 정리를 사용하거나 관련 결론을 설명할 때는 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분 가능하다는 가정을 확인해야 한다. 또 도함수의 한 점 값과 구간 전체의 부호를 구별하는지도 살핀다. 짧은 확인 질문은 “$x=0$에서 도함수 값은 양수인가, 음수인가?”이다. 학생이 직접 $f'(0)=3(-1)(1)=-3$을 계산해 음수라고 표시하면, $-1<x<1$에서 증가한다는 문장과 충돌함을 스스로 발견할 수 있다. 이어 수직선에 $-1,1$을 표시하고 각 구간에서 $x-1$, $x+1$의 부호를 각각 적는다. 두 인수의 부호가 모두 음수인 왼쪽 구간에서는 곱이 양수이고, 가운데에서는 음수이며, 오른쪽에서는 다시 양수다. 교사는 중간 결과가 맞는지만 함께 확인하고 최종 판단은 학생이 문장으로 쓰게 한다.

수정 풀이를 가리고 다시 적용하기

학생은 “$f'(x)=3(x-1)(x+1)$의 부호는 실수 전체에서 $+,-,+$이므로 증가는 $(-\infty,-1),(1,\infty)$, 감소는 $(-1,1)$이다”라고 수정한다. $x=-1,1$에서는 도함수가 0이지만, 도함수가 0이라는 사실만으로 극값을 정하는 것이 아니라 양쪽 부호가 실제로 바뀌는지를 함께 본다. 독립적인 재적용에서는 문제 $f(x)=x^3-3x^2+3x$와 실수 전체라는 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 학생은 먼저 $f'(x)=3(x-1)^2$를 구한 뒤 $x=1$ 양쪽의 부호와 $x=1$에서의 값을 표시한다. 도함수는 음수가 되지 않지만 한 점에서 0이므로, 비음수라는 사실만으로 엄격한 증가를 단정하지 않는다. 대신 $f(x)=(x-1)^3+1$로 다시 나타내 세제곱함수의 평행이동과 대조한다. 따라서 실수 전체에서 엄격히 증가하고 $x=1$은 극값이 아니다. 마지막에는 원래 식, 범위, 필수 조건만 남긴 뒤 풀이를 가리고 다시 시작해, “$x=0$에서 도함수 값은 음수인가?”라는 질문에 계산 근거로 답하는지 확인한다. 한 점의 기울기만으로 구간 전체를 말하면 인접한 모든 구간의 부호를 다시 조사한다.