고모동 고등수학과외

가린 풀이에서 원래 조건 복원하기

배움노트 고등수학 수업 수업에서 다음 문제의 문제 자료만 남기고 풀이와 답을 가린 채 다시 시작한다고 하자. lim(x→0)(1−cos x)/x를 구하되 x는 라디안이다. 먼저 학생에게 “분모가 x²에서 x로 바뀌면 어떤 인자가 남는가?”라고 묻고, 식의 분모와 각의 단위를 직접 표시하게 한다. 이 문제의 기준이 되는 기본 극한은 (1−cos x)/x²→1/2이다. 따라서 원래 식은 x·[(1−cos x)/x²]로 바뀐다. 괄호 안의 극한이 1/2로 가더라도 앞의 x가 함께 남으므로 전체 극한은 0이다. 각을 도 단위로 바꾸어 계산하면 이 기본 극한과 미분의 정의가 달라지므로, 라디안 조건도 풀이 옆에 따로 적어 둔다.

1/2라는 오답에서 놓친 부분 확인하기

이렇게 답했다면 분모를 x²으로 읽었을 가능성이 있지만, 숫자 하나만으로 원인을 확정하지 않는다. 학생이 원래 식에 표시한 분모를 손가락으로 짚고, x²을 기준으로 만든 식과 x를 기준으로 만든 식을 나란히 다시 쓴다. 이어 “분모가 x²에서 x로 바뀌면 어떤 인자가 남는가?”에 말로 답하게 한다. 각의 단위를 확인한 뒤에는 합각 공식이 단순한 함수값의 합이 아니라 두 삼각함수의 곱과 합으로 구성된다는 점도 설명하게 한다. 삼각함수 미분에서 −cos x의 미분계수는 sin x이므로 x=0에서 sin0=0이라는 사실과도 결과를 대조한다. 이는 이 식의 극한이 0이라는 부분 검산이지만, 한 점의 대입만으로 구간 전체의 성질을 주장하는 것은 아니다. 학생은 x·[(1−cos x)/x²]를 직접 계산해 x→0일 때 앞 인자와 괄호의 극한을 각각 표시하고, 후보 답을 원래 조건과 대조한다.

분모 조건을 바꾼 문제에 근거를 다시 적용하기

이제 문제 자료만 남긴 독립 재시도를 한다. 풀이·정답·유도 표시는 가리고, lim(x→0)(1−cos x)/x²를 구한다. 이번에는 x가 라디안이고 sin u/u→1이라는 조건을 함께 확인한다. 앞 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 분모의 조건이 실제로 달라졌으므로 답도 같은 방식으로 복사하지 않는다. 1−cos x를 유리화하면 sin²x/[x²(1+cos x)]이고, 이는 (sin x/x)²/(1+cos x)로 정리된다. x→0에서 첫 인자는 1로, 1+cos x는 2로 가므로 극한은 1/2이다. 근방에서 1+cos x가 0이 아니라는 조건도 확인한다. 마지막으로 학생이 ‘분모가 x이면 x가 남아 0, 분모가 x²이면 남는 인자 없이 1/2’라는 근거를 다시 적게 한다. 바로 대입해 막힐 때는 기본 극한의 분자·분모 모양을 먼저 맞추고, 남은 인자의 극한을 따로 구하는지 다음 점검에서 살핀다.