교동 고등수학과외

“속력은 방향을 포함하는가, 크기만 나타내는가?”에서 멈춘 계산

접선과 변화율을 다루던 중, 직선 위 위치가 s(t)=t²−4t(m), t≥0(초)로 주어지고 t=1에서 속도와 속력을 구하는 문제를 살펴본다. 이렇게 답했다면 “속도가 −2이므로 속력도 −2m/s”라고 적었을 수 있다. 이때 숫자 하나만 보고 곧바로 원인을 정하지 않는다. 위치값 s(1)을 속도로 읽은 것인지, 위치를 미분해야 한다는 점을 놓친 것인지, 속도와 속력에서 절댓값의 역할을 혼동한 것인지 차례로 확인한다. 먼저 학생에게 속력은 방향을 포함하는지, 아니면 운동의 빠르기 크기만 나타내는지 자신의 말로 설명하게 한다.

위치·속도·속력의 식과 단위를 나누어 대조하기

위치의 도함수는 속도이므로 v(t)=s′(t)=2t−4(m/s)이다. 속도의 도함수는 가속도이며, 속력은 직선 운동에서 속도의 절댓값 |v(t)|로 나타낸다. 따라서 위치의 단위 m, 속도의 단위 m/s, 가속도의 단위 m/s²가 서로 다르다. t=1을 대입하면 v(1)=2×1−4=−2m/s이다. 음의 부호는 정한 양의 방향과 반대쪽으로 위치가 변한다는 뜻이지, 빠르기의 크기가 음수라는 뜻은 아니다. 그러므로 속력은 |−2|=2m/s이다. 학생이 위치값 s(1)=−3m을 계산했다면, 그 값은 해당 시각의 위치일 뿐 변화율인 속도와 같지 않다는 점도 함께 표시해 비교한다. 속도 후보와 속력 후보를 고른 뒤 각각 문제에서 요구한 양과 단위에 맞는지 원래 조건과 대조하게 한다.

가린 풀이로 같은 근거를 다시 적용하기

학생은 수정 풀이를 직접 적는다. “v(1)=−2m/s, 속력=|v(1)|=2m/s”라고 쓰고, 음의 속도는 위치가 감소하는 방향을, 양의 속력은 빠르기의 크기를 나타낸다고 덧붙인다. 정답은 속도 −2m/s, 속력 2m/s이다. 이후 문제와 조건, 필요한 식만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시를 가린 상태에서 직선 위 위치 s(t)=t³−3t(m), t≥0(초)의 t=2를 다시 제시한다. 위치의 변화율을 구하는 방법은 유지하되, 이번에는 속도와 가속도를 구분한다. 학생이 v(t)=3t²−3m/s, a(t)=v′(t)=6tm/s²로 적으면 v(2)=9m/s, a(2)=12m/s²가 된다. 위치값 s(2)=2m과 변화율을 섞지 않았는지, 가속도를 속도의 도함수로 구했는지, 각 단위를 함께 적었는지 확인한다. 마지막에는 처음 문제의 근거인 “속도는 방향을 포함하고 속력은 그 절댓값”을 다시 쓰게 한다. 단위가 섞이면 위치에서 한 번 미분해 속도, 두 번 미분해 가속도를 적고, 속력에만 절댓값을 취하는 순서를 스스로 표시하게 한다. 표현만 바뀐 문제와 조건 자체가 달라진 문제를 구별하면서, 같은 근거를 새로운 상황에 맞게 조정해 쓰는지 살핀다.