금암동 고등수학과외

예시 답안에 “연속이므로 f′(0)=0.”이라고 적혀 있다면, 먼저 이 한 줄이 어떤 조건을 건너뛰었는지 살펴본다. 문제는 f(x)=|x|의 x=0에서 미분가능성을 판단하는 것이다. 연속인지 확인하는 일과 미분계수가 존재하는지 확인하는 일은 서로 다르다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답을 곧바로 개념 부족으로 단정하지 않고, 함숫값과 평균변화율, 순간변화율을 구분하는지 질문하며 풀이의 근거를 다시 확인한다.

연속 조건과 미분계수의 정의를 따로 확인하기

f(0)=0이고 x가 0으로 가까워질 때 |x|도 0으로 가까워지므로 f는 x=0에서 연속이다. 그러나 미분가능성을 판단할 때는 미분계수의 정의를 사용해야 한다. 즉, f′(0)=lim h→0 {f(0+h)-f(0)}/h가 존재하는지를 살핀다. 이 차분몫은 {|h|-0}/h=|h|/h이다. 여기서 “|h|/h의 좌우 값은 같은가?”라고 묻고, 학생이 h>0과 h<0을 각각 표시해 직접 계산하도록 한다. h>0이면 |h|/h=1이고, h<0이면 |h|/h=-1이다. 좌우에서 다르게 다가가므로 하나의 극한으로 정해지지 않는다.

좌우 기울기를 비교해 오답을 수정하기

연속이라는 사실은 그래프가 끊어지지 않는다는 뜻이지, 한 점에서 좌우 기울기가 반드시 하나로 이어진다는 뜻은 아니다. 따라서 “연속이므로 f′(0)=0”이라는 풀이는 연속 조건을 미분계수의 조건으로 잘못 바꾼 경우다. 학생은 먼저 f(0)=0으로 연속 조건을 확인한 뒤, 차분몫 |h|/h를 좌우로 나누어 적는다. 오른쪽 기울기는 1, 왼쪽 기울기는 -1이므로 서로 다르다. 그러므로 f(x)=|x|는 x=0에서 미분불가능하다. 수치 하나를 대입해 결론을 정하는 것이 아니라, h의 부호에 따른 좌우 차분몫이 다르다는 일반적인 근거로 판단해야 한다.

표현이 바뀐 문제에서 같은 방법을 다시 적용하기

이제 대표 문제의 식과 조건만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 f(x)=x|x|의 x=0에서 미분가능성과 미분계수를 구한다. 같은 절댓값이 들어 있어도 결과가 항상 같은 것은 아니므로, 문제의 식 자체를 다시 차분몫에 넣어야 한다. f(0)=0이고 h≠0일 때 {f(h)-f(0)}/h=h|h|/h=|h|이다. 좌우에서 모두 |h|→0이므로 미분계수가 존재하고 f′(0)=0이다. 구간별로 쓰면 x<0에서 f(x)=-x², x≥0에서 f(x)=x²이며, x=0에서 양쪽 기울기가 모두 0으로 이어진다. 수정 풀이 뒤에는 연속 조건 f(0)=0과 미분계수의 극한 조건을 각각 대조한다. 다음 점검에서는 식·범위·필수 자료만 제시하고, “|h|/h의 좌우 값은 같은가?”에 답할 근거를 학생이 고르게 한다. 도함수 공식을 바로 쓰면 두 점의 함수값 차와 입력 증가량이 무엇인지 다시 표시하게 하여, 표현만 바뀐 문제와 실제 조건이 달라진 문제를 구별하며 풀이를 재적용한다.