당하동 고등수학과외

기하에서 평면의 방정식을 세울 때는 식을 빠르게 정리하는 것보다 주어진 점과 법선벡터가 끝까지 반영되었는지 확인해야 한다. 예를 들어 점 A(1,0,0)을 지나고 법선벡터가 n=(1,2,2)인 평면을 구하는 상황을 생각해 보자. 이렇게 답했다면 학생의 식은 x+2y+2z=0이다. 그런데 검산 결과는 x+2y+2z=1이므로 두 식의 상수가 다르다. 이 차이를 단순 계산 실수라고 바로 정하지 않고, “원점을 지난다는 조건이 주어졌는가? A를 식에 넣으면?”이라고 되묻는 데서 확인을 시작한다.

점 조건을 먼저 대입해 오답의 의미 확인하기

x+2y+2z=0은 원점 (0,0,0)을 지나는 평면을 나타낸다. 실제로 A(1,0,0)을 대입하면 왼쪽이 1이 되어 0과 같지 않으므로, 주어진 평면 위에 A가 놓이지 않는다. 따라서 이 식은 법선벡터의 방향은 반영했지만 지나야 할 점의 위치 조건을 반영하지 못한 식이다. 교사는 “주어진 점을 식에 넣었을 때 등식이 성립하는가?”를 학생이 직접 계산하게 하고, 방향벡터와 법선벡터를 서로 바꾸어 사용하지 않았는지도 확인한다. 평면은 한 점과 영벡터가 아닌 법선벡터로 정해지며, 법선벡터는 평면에 수직인 방향을 뜻한다.

내적식에서 상수가 생기는 과정을 따라가기

평면 위의 임의의 점을 (x,y,z)라 하면, 점 A에서 그 점으로 향하는 변위벡터는 (x,y,z)-A=(x-1,y,z)이다. 평면 안의 모든 변위는 법선벡터와 수직이므로 n·((x,y,z)-A)=0을 세운다. 그러면 (1,2,2)·(x-1,y,z)=0, 즉 (x-1)+2y+2z=0이 된다. 이 식을 전개하면 x+2y+2z=1이다. 학생이 이 과정을 직접 이어 쓰면, 상수 1이 임의로 붙은 값이 아니라 점 A의 좌표에서 나온 값임을 알 수 있다. A를 대입하면 1+0+0=1이고, 평면 위 임의의 변위벡터는 n과 내적이 0이므로 점 조건과 방향 조건을 모두 만족한다.

상수만 달라질 때 평면의 관계 다시 확인하기

같은 기준으로 평면 α:x+2y+2z=1과 β:x+2y+2z=4를 비교해 보자. 두 식의 법선벡터가 같으므로 방향은 같지만 상수가 다르다. 두 평면이 한 점에서 만난다고 가정해 식을 동시에 만족시키면, 두 식을 빼서 0=3이 되어 모순이다. 따라서 두 평면은 서로 다른 평행평면이다. 여기서 법선의 일치가 곧 평면의 일치를 뜻하지는 않는다는 점을 구분해야 한다. 재적용에서는 문제와 조건, 필요한 법선벡터만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생이 대표 문제의 식을 다시 세운 뒤 계산 결과와 성립 조건을 각각 적고, 이어 상수가 다른 두 평면의 관계도 직접 검증하게 한다. 분수꼴 공식만 기억해 막히면 다시 내적식으로 돌아가며, 0으로 나누는 변형이나 빠진 매개변수 범위가 없는지도 함께 살핀다. 이렇게 배움노트 고등수학 수업에서는 같은 문제의 표현만 바뀐 경우와 실제 조건이 달라진 경우를 나누어 확인한다.