미추홀구 수학과외

대표 문제에서 드러난 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. A={1,2,3}, B={2,4}일 때 A-B를 구하는 문제에서 학생이 “{1,3,4}다.”라고 답했습니다. 먼저 문제에서 묻는 값은 두 집합의 차집합 A-B입니다. 차집합은 A에 속하면서 B에는 속하지 않는 원소를 모아 나타내므로, A의 원소 1, 2, 3에서 출발해야 합니다. 1은 B에 없으므로 남기고, 2는 B에도 있으므로 제외하며, 3은 B에 없으므로 남깁니다. 따라서 정답은 A-B={1,3}입니다. 4는 B에는 있지만 A에는 없으므로 처음부터 A에서 출발하는 과정에 포함되지 않습니다.

어긋난 판단을 구분하는 확인

교사는 “4를 왜 답에 넣었는지”, “A-B에서 먼저 살펴볼 집합은 A와 B 중 어느 쪽인지”를 차례로 묻습니다. 이때 오답 하나만 보고 원인을 단정하지 않고, 학생이 차집합의 뜻을 알고도 원소를 잘못 옮겼는지, 합집합처럼 두 집합의 원소를 모두 모으려 했는지, 아니면 기호의 순서를 제대로 읽지 못했는지를 나누어 살핍니다. 학생이 말로 설명하기 어렵다면 교사는 A의 원소 1, 2, 3만 적어 놓고 B에 있는 원소를 하나씩 대조하는 과정을 함께 시작합니다. 합집합에서는 공통 원소를 한 번만 세지만, 이 문제에서는 합집합을 구하는 것이 아니므로 B의 모든 원소를 답에 넣지 않는다는 점도 구분합니다. 여집합은 전체집합을 기준으로 정하는 개념이므로, 제시된 A-B 문제와 같은 연산으로 바꾸어 설명하지 않습니다.

교사의 설명 뒤 다시 세우는 풀이

교사는 “A-B는 A에서 출발해 B에 있는 원소만 제외한다.”고 문제의 조건과 연결해 설명합니다. 학생이 한 번에 이해하지 못하면 1을 먼저 살펴보며 “1은 A에 있고 B에는 없으니 남길 수 있다.”고 함께 확인한 뒤, 2에 대해서는 “2는 A와 B에 모두 있으므로 A에서 빼야 한다.”고 보여 줍니다. 이어서 학생이 3과 4를 직접 판단하게 합니다. 학생은 처음의 {1,3,4}에서 4를 빼야 한다는 점을 고치고, 3은 A에 있으면서 B에는 없으므로 남긴다고 다시 풉니다. 그 결과 A-B={1,3}이라고 답하며, 4를 제외한 이유는 4가 B의 원소이기 때문이 아니라 A의 원소가 아니기 때문이라고 문제의 조건에 맞게 설명합니다.

검산과 새 조건에 적용하기

검산할 때는 풀이를 그대로 반복하지 않고 결과에 포함된 원소를 원래 조건에 대입해 봅니다. 1과 3은 A에 있고 B에는 없으므로 A-B에 들어가며, 4는 A의 원소가 아니므로 차집합에 들어갈 수 없습니다. 풀이 순서를 따라 쓴 경우에는 수정 풀이와 정답을 가린 뒤, 문제의 집합 A와 B만 보면서 다시 시작하게 합니다. 다음 적용 문제로 A={2,4,6}, B={4,6,8}에서 A-B와 B-A를 비교합니다. A에서 출발하면 4와 6을 제외해 A-B={2}이고, B에서 출발하면 A에 있는 4와 6을 제외해 B-A={8}입니다. 두 결과가 다른 까닭은 어느 집합에서 시작해 어느 집합의 원소를 제외하는지가 달라졌기 때문입니다. 이후 학생이 새 문제를 가리고 푸는 것이 아니라 문제의 수치와 조건을 보면서 이전 풀이와 정답을 가린 상태로 다시 해결하고, 각 원소를 남기거나 제외한 근거를 설명하는지를 확인합니다. 필요하면 A={1,2}, B={2,3}에서 A-B={1}, B-A={3}을 비교해 차집합은 순서를 바꾸어도 같다는 설명이 항상 성립하지 않음을 추가로 살펴볼 수 있습니다.