미추홀구 고등수학과외

부호 변화가 알려 주는 범위부터 표시하기

사잇값 정리의 존재 결론을 다루는 수업에서는 조건을 적지 않은 예시 풀이부터 점검한다. 문제는 f(x)=x³+x−1일 때 (0,1)에 실근이 있음을 설명하는 것이다. 이렇게 답했다면 좋다. “f(0)=−1, f(1)=1이니 근은 정확히 1/2이다.” 그러나 부호가 바뀐다는 사실은 근이 구간 안에 적어도 하나 있다는 것과 관련될 뿐, 근의 정확한 위치가 1/2이라는 뜻은 아니다. 먼저 필요한 범위 [0,1], 양 끝의 부호, 함수가 그 구간에서 연속인지 각각 표시해야 한다.

이때 오답 하나만 보고 계산 실수나 정리의 오해로 원인을 확정하지 않는다. “부호 변화가 근의 정확한 위치까지 알려 주는가?”라고 묻고, 학생이 함수의 정의와 구간, 함숫값을 직접 다시 적게 한다. 한 점에서 연속이라는 말은 함숫값이 존재하고 그 점에서의 극한과 일치한다는 뜻이며, 구간에서 사잇값 정리를 쓰려면 해당 구간 전체에서 연속이어야 한다. 다항함수 f(x)=x³+x−1은 모든 실수에서 연속이고 f(0)=−1<0<f(1)=1이므로 정리의 가정을 충족한다.

정확한 값과 존재 사실을 구별해 쓰기

조건을 확인한 뒤 학생은 “사잇값 정리에 따라 적어도 하나의 c∈(0,1)이 존재하여 f(c)=0이다”라고 수정해 쓴다. 여기서 결론은 실근의 존재이지, 그 실근의 정확한 값이나 개수까지 확정하는 것이 아니다. 부분 검산으로 f(1/2)= (1/2)³+1/2−1=1/8+4/8−8/8=−3/8임을 계산하면 1/2이라는 단정이 틀렸음을 확인할 수 있다. 이 계산은 정리의 결론을 대신하는 것이 아니라 오답의 특정 주장을 반례로 확인하는 절차다. 최종 문장은 학생이 직접 “(0,1)에 적어도 하나의 실근이 존재한다”고 완성하게 한다.

배움노트 고등수학 수업에서 같은 내용을 다시 볼 때도 식과 범위를 바꾸어 읽는 습관을 강조한다. 표현만 달라진 문제인지, 실제로 연속 조건이 빠진 문제인지 먼저 구별해야 한다. 끝값의 부호만 같거나 다르다는 사실만으로는 구간 전체의 성질을 대신할 수 없기 때문이다.

연속 조건을 가리고 다시 판단하기

다음에는 f(x)=−1(−1≤x<0), f(x)=1(0≤x≤1)이라는 식과 범위만 남긴 채 풀이와 결론을 보지 않고 시작한다. 양 끝에서는 f(−1)=−1, f(1)=1이므로 부호가 달라 보이지만, x=0에서 좌우 값이 달라 함수가 연속이 아니다. 실제 함수값을 두 식으로 나누어 조사하면 모든 출력은 −1 또는 1뿐이어서 0이 되는 x는 없다. 따라서 f(x)=0의 해는 없다. 이는 사잇값 정리에서 연속 조건을 빼면 부호 변화만으로 0을 지난다고 할 수 없다는 뜻이다.

마지막으로 처음 문제의 식·범위·필수 자료만 남겨 두고 “부호 변화가 근의 정확한 위치까지 알려 주는가?”에 답할 근거를 고른다. 학생이 다항함수의 연속성, f(0)<0<f(1), c∈(0,1)을 다시 표시하고 존재 결론을 문장으로 쓰는지 확인한다. 이후에는 끝값만 보고 결론 내리지 않고 구간 중간의 끊김, 함수값의 정의, 금지된 입력이 있는지 먼저 살핀다.