송현동 수학과외

대표 문제에서 “10 증가한다”라고 답한 이유

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 자료 1, 3의 모든 값에 10을 더했을 때 분산이 어떻게 되는지 묻는 문제에 “10 증가한다”라고 풀이한 상황입니다. 이 문제에서 먼저 구해야 할 것은 평균의 변화가 아니라, 자료가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 제곱해 평균 낸 값인 분산입니다. 원래 자료의 평균은 2이고, 각 자료의 편차는 1-2=-1, 3-2=1입니다. 따라서 분산은 ((-1)²+1²)/2=1입니다.

학생의 답은 자료의 값에 더한 10이 분산에도 그대로 더해진다고 판단한 데서 나온 것으로 보입니다. 그러나 이 답 하나만으로 계산 실수인지 개념을 잘못 적용한 것인지 바로 확정하지는 않습니다. 교사는 “10을 더한 뒤 평균은 어떻게 변한다고 생각했는가?”, “자료와 평균에서 각각 10을 빼면 두 값의 차이는 어떻게 되는가?”라고 묻고, 학생이 문제의 조건과 계산을 연결하는 과정을 확인합니다.

평균과 자료에 같은 수를 더하면 편차는 어떻게 되는가

자료 1, 3의 모든 값에 10을 더하면 새 자료는 11, 13이 됩니다. 자료 전체에 같은 수를 더했으므로 평균도 10만큼 증가하여 새 평균은 12입니다. 이제 각 자료에서 새 평균을 빼면 11-12=-1, 13-12=1이 됩니다. 원래 편차인 -1, 1과 같습니다. 분산은 자료 자체의 값이 얼마나 커졌는지를 재는 것이 아니라, 각 값과 평균 사이의 차이가 얼마나 퍼져 있는지를 재는 값이므로, 편차가 그대로라면 분산도 그대로입니다.

교사는 이 중에서 학생이 어려워하는 한 단계를 함께 확인합니다. 예를 들어 새 자료 11, 13의 평균 12를 구하는 과정이 막히면 평균 계산을 먼저 보여 주고, 이어서 학생이 11과 13에서 12를 빼 보게 합니다. 평균과 각 자료에 같은 10이 더해졌다는 조건을 식으로 나타내면 (x+10)-(평균+10)=x-평균입니다. 이 식은 이번 자료에 필요한 이유를 보여 주며, 자료와 평균의 차이가 유지된다는 점을 설명합니다.

학생이 수정 풀이를 다시 구성하는 과정

학생은 처음의 “10 증가한다”라는 결론을 그대로 표시하는 데서 끝내지 않고, 문제의 조건에 맞춰 풀이를 다시 시작합니다. 먼저 자료 1, 3에 10을 더해 11, 13을 쓰고, 두 수의 평균이 (11+13)/2=12임을 계산합니다. 그다음 각 자료의 편차를 11-12=-1, 13-12=1로 구합니다. 편차 제곱의 평균은 ((-1)²+1²)/2=1이므로, 원래 분산 1과 같습니다. 학생이 “값은 10씩 커졌지만 평균도 10 커져서 평균과의 차이는 변하지 않는다”고 설명할 수 있는지 확인하며, 설명이 어려우면 교사가 첫 번째 편차를 함께 구한 뒤 두 번째 편차와 최종 분산은 학생이 이어서 시도하게 합니다.

검산할 때는 같은 풀이를 단순히 반복하기보다 계산 결과가 조건에 맞는지 살핍니다. 새 자료 11, 13의 평균 12에서 편차가 -1, 1로 다시 나타나므로 두 값은 평균에서 같은 거리만큼 떨어져 있습니다. 편차 제곱도 각각 1이고 그 평균은 1입니다. 원래 자료 1, 3 역시 평균 2에서 편차가 -1, 1이므로 두 자료의 퍼진 정도가 같다는 것을 확인할 수 있습니다. 이후 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 문제와 조건만 보고 다시 해결하게 하며, 막히는 지점이 개념인지 계산인지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

새 적용 문제로 어떤 자료의 모든 값에 7을 더했을 때 평균과 분산이 어떻게 바뀌는지 살펴봅니다. 이 문제에서 바뀐 조건은 더하는 수가 10에서 7로 달라졌다는 점뿐입니다. 모든 자료에 같은 수를 더한다는 조건은 유지되므로 평균은 7 증가하고, 각 자료와 평균의 차이는 그대로여서 분산은 변하지 않습니다. 학생이 이전의 숫자 10을 외워 적용하는 것이 아니라, “자료 전체와 평균에 같은 수를 더했는가”를 먼저 확인하는지 보는 것이 핵심입니다.

필요하다면 자료 1, 3에서 두 번째 값에만 2를 더해 새 자료 1, 5가 되는 비교 문제를 선택할 수 있습니다. 새 평균은 3이고 편차는 -2, 2이므로 분산은 ((-2)²+2²)/2=4입니다. 원래 분산 1과 달라지는 이유는 모든 자료가 아니라 일부 자료만 변했기 때문입니다. 학생이 새 문제를 가리고 푸는 것이 아니라 문제의 수치와 조건은 보면서 이전 풀이와 정답만 가린 채, 같은 수를 더하는 대상이 전체인지 일부인지 구분하도록 합니다. 다음 수업에서는 학생이 수정 풀이를 스스로 다시 구성하고, 답의 근거를 말하며, 더하는 수가 달라진 문제에도 이 조건을 적용하는지를 확인합니다.