두류동 수학과외

4cm에 1을 더한 오답에서 놓친 조건

다음 문제에서 학생이 “작은 쪽 변이 4cm이고 닮음비가 2:3이므로 4+1=5cm다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 이 답은 4cm에 어떤 수를 더해 대응하는 큰 변을 구하려 한 풀이입니다. 하지만 문제에서 주어진 2:3은 두 대응변의 길이 차이가 아니라 작은 변과 큰 변의 길이비입니다. 따라서 4cm에 1을 더하는 방식으로는 2:3이라는 비를 반영할 수 없습니다.

교사는 먼저 “2와 3 중 어느 수가 작은 삼각형에 해당하고, 어느 수가 큰 삼각형에 해당하는가?”라고 묻습니다. 학생이 비의 방향은 말할 수 있지만 식으로 연결하지 못한다면, 닮음 기호에서 서로 대응하는 변을 짝지어 보게 합니다. 반대로 대응변을 제대로 짝지었는데도 4+1을 썼다면, 길이비를 차이로 바꿔 계산한 것인지 식을 세운 이유부터 함께 확인합니다. 이 한 가지 오답만으로 계산 실수인지 개념 이해의 문제인지 단정하지 않고, 비의 의미를 말로 설명하는 경우와 실제 문제에 적용하는 경우를 나누어 살핍니다.

대응변을 짝지어 배율을 정하는 설명

교사는 작은 쪽 대응변 4cm에 큰 쪽 대응변을 연결하고, 작은 삼각형에서 큰 삼각형으로 갈 때 길이가 어떻게 바뀌는지 비의 순서로 정리합니다. 작은 쪽:큰 쪽이 2:3이므로 큰 변은 작은 변의 3/2배입니다. 여기서 2와 3은 더하거나 빼는 수가 아니라 같은 종류의 길이를 비교하는 비의 두 항입니다. 문제에서 구하는 값은 큰 대응변의 길이이므로 작은 변 4cm에 큰 쪽 항과 작은 쪽 항의 비율을 곱해야 합니다.

학생이 바로 식을 쓰기 어려워하면 교사가 “작은 변 2에 대응하는 큰 변이 3이라면, 작은 변 1에 대응하는 큰 변은 3/2이고, 작은 변 4에는 몇 배가 필요한가?”까지 짧게 풀어 보입니다. 그다음 학생이 이어서 4×3/2를 쓰고, 4cm가 작은 삼각형의 대응변이라는 조건을 식 옆에 설명하도록 합니다. 계산하면 4×3/2=12/2=6이므로 큰 쪽 대응변은 6cm입니다.

수정 풀이와 조건에 대입하는 검산

학생은 처음의 4+1을 지우는 데서 끝내지 않고, “큰 변은 작은 변의 3/2배이므로 4에 3/2를 곱한다.”라고 판단을 바꾸어 다시 풉니다. 결과가 6cm인지 확인할 때는 같은 계산을 반복하기보다, 두 길이를 원래 비에 대입합니다. 작은 변과 큰 변은 4:6이고, 이를 2로 나누면 2:3이 됩니다. 따라서 4cm와 6cm의 관계가 문제에서 제시한 닮음비와 일치합니다.

이 과정을 다시 할 때는 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제의 조건과 도형의 대응 관계만 보고 처음부터 식을 세우게 합니다. 혼자 식을 세우지 못하면 닮음비의 방향을 다시 확인하고, 식은 세우지만 계산에서 막히면 분수 계산만 짧게 도와줍니다. 다른 식을 사용했더라도 대응변의 순서와 계산 결과가 조건에 맞으면 같은 풀이로 인정할 수 있습니다.

새 조건에 적용하고 다음에 확인할 점

이번에는 기본 문제와 다른 조건으로, 작은 쪽:큰 쪽 대응변의 비가 3:5이고 작은 변이 12라고 해 보겠습니다. 바뀐 것은 닮음비와 작은 변의 길이이며, 작은 변에서 큰 변으로 갈 때 해당 비율을 곱한다는 방법은 같습니다. 큰 변은 12×5/3=20이므로 정답은 20입니다. 다만 길이의 비를 적용한 것이므로 넓이나 부피에도 같은 배율을 그대로 쓰면 안 됩니다. 예를 들어 한 변 1cm인 정사각형을 한 변 3cm인 정사각형으로 확대하면 길이의 배율은 3이지만 넓이는 1cm²에서 9cm²가 되어 9배입니다. 다음 확인에서는 학생이 첫 문제의 풀이를 기억해 답을 베끼는지가 아니라, 새로운 비와 수치에서 대응변을 다시 짝짓고 길이의 배율을 설명한 뒤 정답까지 구하는지를 살펴봅니다.