본리동 수학과외

대표 문제와 처음의 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 빨간 공 3개와 파란 공 2개 중에서 공 하나를 같은 가능성으로 뽑을 때, 빨간 공일 확률을 구하는 문제입니다. 학생은 “3/2다.”라고 답했습니다. 빨간 공의 개수 3과 파란 공의 개수 2를 모두 사용했지만, 확률에서 분모가 무엇을 나타내야 하는지 다시 살펴볼 필요가 있습니다.

어떤 판단에서 어긋났는지 확인하기

교사는 먼저 “공 하나를 뽑을 때 가능한 전체 공은 몇 개인가요?”, “빨간 공이 될 수 있는 경우는 몇 개인가요?”라고 묻습니다. 학생이 빨간 공 3개와 파란 공 2개를 더하지 않고 색별 개수만 비교해 3/2를 만들었다면, 원하는 경우와 전체 경우를 구분하는 데 어려움이 있었을 수 있습니다. 다만 오답 하나만 보고 원인을 바로 정하지는 않습니다. 학생에게 ‘확률은 어떤 수를 어떤 수로 나눈 값인지’ 말로 설명해 보게 하고, 빨간 공과 파란 공을 모두 합친 전체 개수를 구한 뒤 같은 문제에 다시 적용할 수 있는지 확인합니다. 개념은 설명하지만 식에서만 달라졌다면 계산이나 조건 해석을 함께 살핍니다.

교사의 설명과 학생의 수정 풀이

교사는 이 문제에서 분모는 비교 대상인 파란 공의 개수가 아니라, 뽑을 수 있는 전체 공의 개수라고 짚습니다. 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 있으므로 전체 공은 3+2=5개입니다. 그중 관심 있는 결과는 빨간 공이므로 원하는 경우의 수는 3개입니다. 따라서 빨간 공일 확률은 원하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 3/5입니다.

학생이 바로 이어서 풀기 어려워하면 교사가 전체 공을 구하는 3+2까지만 함께 써 보이고, 그 수가 왜 분모가 되는지 설명합니다. 그다음 학생은 처음의 3/2에서 파란 공의 개수 2를 분모로 사용한 판단을 바꾸어, 빨간 공과 파란 공을 합친 5를 분모에 씁니다. “빨간 공 3개가 전체 5개 중 차지하는 비율이므로 3/5입니다.”라고 문제의 조건과 연결해 답을 완성합니다. 풀이 순서만 따라 쓰는 데 그치지 않도록, 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 같은 문제를 다시 시작하게 하여 전체 공과 빨간 공의 수를 직접 확인하게 합니다.

검산과 새 조건에 적용하기

검산은 같은 계산을 반복하는 대신 반대 결과를 이용합니다. 빨간 공이 아닐 확률은 파란 공일 확률이므로 2/5입니다. 두 색 외의 공이 없으므로 빨간 공일 확률과 파란 공일 확률을 더하면 3/5+2/5=1이 됩니다. 전체 가능성을 모두 합했을 때 1이 되므로 3/5라는 결과가 원래 조건과 맞는지 확인할 수 있습니다.

이제 문제를 바꾸어 흰 카드 4장과 검은 카드 6장 중 한 장을 같은 가능성으로 고른다고 하겠습니다. 흰 카드가 아닐 확률을 구할 때는 전체 10장 중 검은 카드 6장을 세어 6/10=3/5로 정리합니다. 이는 흰 카드일 확률 4/10=2/5의 여사건이기도 합니다. 이전 문제와 색과 개수는 달라졌지만, 전체 개수를 먼저 구하고 질문에 해당하는 경우를 세는 방법은 그대로 적용됩니다.

추가로 빨간 공 4개, 파란 공 1개, 노랑 공 1개에서 공 하나를 뽑는 경우를 비교할 수 있습니다. 색이 세 종류라고 해서 각 확률이 항상 1/3이 되는 것은 아닙니다. 전체 공은 6개이므로 빨간 공은 4/6=2/3, 파란 공과 노랑 공은 각각 1/6입니다. 색의 종류 수와 실제 공의 개수를 구별하는 판단이 필요한 문제입니다. 다음 확인에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 상태에서 새 조건을 스스로 해결하고, 분모가 전체 경우를 나타내는 이유와 답의 근거를 설명하는지 살펴봅니다.