용산동 수학과외

√(x²)를 x라고 쓴 풀이에서 놓친 조건

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “√(x²)을 모든 실수 x에서 간단히 하라”는 문제를 보고 학생이 “x다.”라고 썼습니다. x를 제곱하면 x²이 되고, 다시 제곱근을 취하면 원래 수 x로 돌아온다고 생각한 것입니다. 하지만 이 문제의 핵심은 제곱근 기호가 나타내는 값의 범위입니다. √x는 x가 0 이상일 때 그 제곱이 x가 되는 음이 아닌 값을 뜻합니다. 따라서 √(x²)는 x의 부호까지 그대로 되돌리는 식이 아니라, x와 절댓값이 같은 음이 아닌 수를 나타냅니다.

이때 “x라고 쓴 이유가 무엇인지”를 먼저 물어볼 수 있습니다. 학생이 제곱과 제곱근을 서로 없애는 연산으로만 이해했는지, 아니면 x가 음수일 때도 같은 판단이 가능한지 확인하는 것입니다. 예를 들어 x=-2를 넣으면 x²=4이고 √4=2가 됩니다. 결과는 -2가 아니므로 x라는 답은 모든 실수에서 성립하지 않습니다. 다만 이 한 번의 오답만으로 계산 실수인지 개념 이해의 어려움인지 단정하지 않고, 제곱근의 뜻을 말로 설명해 보게 한 뒤 실제 식에 적용하는 과정을 나누어 살핍니다.

부호를 확인하며 수정 풀이 다시 세우기

교사는 먼저 x²이 어떤 수인지, 그 수의 제곱근이 어떤 값을 뜻하는지 함께 짚습니다. 어떤 실수 x를 제곱하면 결과는 항상 0 이상입니다. 그러므로 √(x²)의 결과도 반드시 0 이상이어야 합니다. x가 양수일 때에는 x 자체가 음이 아니므로 √(x²)=x가 맞습니다. x=0일 때도 결과는 0입니다. 그러나 x가 음수이면 x 자체는 음수이므로 제곱근의 결과가 될 수 없습니다. 이때는 x의 반대 수가 음이 아닌 값을 만들며, 그 값이 바로 |x|입니다.

학생이 이 설명을 한 번에 이해하기 어렵다면 교사는 x=-2인 경우의 일부를 함께 풀어 √((-2)²)=√4=2까지 보여 줄 수 있습니다. 이어서 학생은 문제의 문자를 다시 보며 “x가 양수인지 음수인지 정해져 있지 않고, 모든 실수라고 했으므로 한 가지 부호만 사용하면 안 된다”고 고칩니다. 그 결과 수정된 식은 √(x²)=|x|입니다. 학생은 처음의 x라는 답에서, 제곱근의 결과가 음이 아니어야 한다는 조건을 반영하지 않았다는 점을 문제의 조건과 연결해 설명하고, 절댓값이 x의 부호에 따라 x 또는 -x가 된다는 뜻까지 확인합니다.

원래 조건에 대입해 풀이를 확인하는 방법

수정한 답은 같은 풀이를 반복해서 확인하기보다 원래 식의 성질에 대입해 살펴봅니다. |x|는 항상 0 이상이고, 절댓값을 제곱하면 (|x|)²=x²입니다. 따라서 |x|는 x²의 제곱근이 요구하는 두 조건, 즉 제곱해서 x²가 되고 음이 아닌 값이라는 조건을 모두 만족합니다. 특히 x=-2일 때 |x|=2이고, 2²=4이므로 √((-2)²)=2와도 일치합니다.

학생이 처음 풀이 순서를 따라 쓰기만 했다면 교사는 수정 풀이와 정답을 가리고 같은 문제를 다시 시작하게 합니다. 이때 학생이 “절댓값을 써야 한다”는 결론만 기억하는지, 아니면 제곱근의 음이 아닌 조건을 근거로 식을 구성하는지 봅니다. 혼자 진행하지 못하면 개념 설명이 필요한지, 부호를 식에 적용하는 계산 단계에서 막혔는지를 나누어 도움을 조정합니다. 다른 방식으로 설명하더라도 조건과 계산이 맞고 √(x²)가 음이 아닌 값이라는 근거가 분명하면 그 풀이를 인정할 수 있습니다.

새 조건에서 절댓값의 부호를 선택하기

다음 문제는 기본 문제와 달리 식 안의 수가 x가 아니라 x-4이고, 그 부호 조건이 주어집니다. “√((x-4)²)를 x<4에서 간단히 하라”는 문제입니다. 먼저 x<4이므로 x-4는 음수입니다. 따라서 √((x-4)²)는 |x-4|로 바꿀 수 있고, 음수의 절댓값은 그 반대 수이므로 4-x가 됩니다. 여기서는 단순히 x-4라고 쓰는 것이 아니라 주어진 부등식으로 식의 부호를 판단해야 합니다.

학생은 “제곱근을 절댓값으로 바꾼 뒤, x-4가 음수이므로 부호를 바꾼다”고 순서대로 다시 풉니다. x=1을 넣으면 √((1-4)²)=√9=3이고, 4-1=3이므로 답과 맞습니다. 이후 추가 비교가 필요하다면 x=-6에서 √(x²)=x인지 확인하게 할 수 있습니다. √36=6이므로 -6과 같지 않으며, 이 사례는 제곱과 근호를 지우면 언제나 부호까지 원래 값으로 돌아온다는 설명이 성립하지 않음을 보여 줍니다. 다음 확인에서는 학생이 답을 보지 않고 문제의 조건과 풀이를 다시 구성하는지, 절댓값을 선택한 이유를 설명하는지, 부호 조건이 달라진 새 문제에도 같은 원리를 정확히 적용하는지를 살펴봅니다.