송현동 중등수학과외

두 직각변이 5cm와 12cm일 때 먼저 구할 것

수업은 “직각삼각형의 두 직각변이 5cm와 12cm이다. 빗변과 둘레를 구하라”는 문제에서 시작한다. 조건이 대표 문항과 반대라는 점을 학생이 직접 표시하게 한다. 이번에는 빗변이 주어진 것이 아니라 두 직각변이 주어졌으므로, 먼저 두 길이를 각각 제곱한다. 학생은 빗변²=5²+12²=25+144=169라고 적고, 빗변은 양의 길이이므로 13cm라고 쓴다. 이어서 둘레를 묻고 있으므로 5+12+13=30cm까지 계산한다.

이 장면에서 교사는 정답만 확인하지 않고 “어느 두 변을 알고 있니?”, “구하려는 변은 식의 어느 쪽에 놓이니?”라고 짧게 묻는다. 학생은 5cm와 12cm가 직각을 이루는 두 변이고 13cm가 가장 긴 변이라는 근거를 말한 뒤, 세 길이를 더해 둘레를 구한다. 마지막에는 13²=5²+12²인지 대조하고, 세 변의 합이 30cm인지 확인한다. 이렇게 새 문제에서 달라진 조건과 유지되는 피타고라스 정리의 관계를 먼저 남겨 둔다.

13cm와 5cm에서 나머지 변을 찾는 오답

비교할 대표 문제는 “직각삼각형의 빗변이 13cm, 한 직각변이 5cm일 때 다른 직각변을 구하라”이다. 학생은 문제에서 빗변 13cm와 한 변 5cm를 정확히 찾아 적었다. 그러나 처음에는 a²=(13−5)²=64, a=8cm이라고 작성했다. 길이 13cm와 5cm를 빼려는 판단 자체를 곧바로 틀렸다고 단정하지 않고, 그 차이를 제곱한 이유와 피타고라스 정리의 식을 어떻게 연결했는지 확인한다.

교사는 “13²−5²와 (13−5)²가 같은 값일까?”라고 묻고 두 식을 직접 계산하게 한다. 학생은 13²−5²=169−25=144인 반면 (13−5)²=8²=64라고 비교한다. 이때 말로는 “각 변의 제곱을 계산한 뒤 뺀다”고 설명하는지, 실제 종이에 차이를 먼저 제곱했는지를 대조한다. 설명과 기록이 다르면 식을 옮겨 쓰는 과정도 함께 확인하지만, 교사는 풀이 전체를 대신 완성하지 않는다.

제곱의 차이를 구분한 뒤 학생이 완성한 풀이

필요한 설명은 한 문장으로 제한한다. 제곱의 차는 차의 제곱과 다르다. 교사는 13과 5를 먼저 각각 제곱하는 한 단계만 시범으로 보이고, 다음 식은 학생이 직접 이어 쓰게 한다. 학생은 나머지 변을 a라 하고 길이이므로 a>0이라고 표시한 뒤, a²+5²=13²에서 a²=169−25=144, 따라서 a=12cm라고 수정한다. 처음 풀이의 8cm는 길이의 차를 먼저 제곱한 결과였고, 수정 풀이에서는 각 길이를 제곱한 뒤 빼는 순서가 달라졌다.

검산은 같은 뺄셈을 반복하지 않고 원래의 직각삼각형 관계에 대입한다. 학생은 5²+12²=25+144=169=13²라고 적어 12cm가 조건에 맞는지 확인한다. 12cm가 5cm보다 길고 13cm보다 짧다는 길이 관계도 함께 말하게 한다. 이어 처음의 새 문제로 돌아가면 두 직각변 5cm와 12cm로부터 빗변 13cm를 구하고, 둘레 30cm를 계산했던 이유가 같은 관계에서 나온 것임을 설명할 수 있다.

다음 확인에서는 대표 문제의 숫자와 조건을 그대로 제시하되, 기존 풀이와 정답은 가린다. 학생은 풀이를 시작할 때 13과 5를 각각 제곱한 뒤 빼고, 나머지 변의 양수 조건을 적은 다음 제곱근을 구해야 한다. 교사는 “제곱의 차와 차의 제곱이 왜 다른가?”라는 질문에 학생이 169−25=144와 64를 직접 비교해 설명하는지, 풀이 뒤 5²+12²=13²를 검산 근거로 남기는지 확인한다.