송현동 고등수학과외

지수방정식은 치환한 값의 모양만 보고 답을 정하는 것이 아니라, 그 값이 원래 변수와 어떻게 연결되는지 끝까지 확인해야 합니다. 실수 x에 대해 4ˣ−3·2ˣ+2=0을 풀어 보겠습니다. 4ˣ=(2ˣ)²이므로 t=2ˣ로 치환하면 t²−3t+2=0, 즉 (t−1)(t−2)=0이 됩니다. 따라서 t=1 또는 t=2라는 두 값을 얻습니다.

t의 해를 x의 해로 착각한 순간

이렇게 답했다면 풀이 중간의 치환값과 원래 변수의 해를 같은 것으로 본 것입니다. t=1, 2를 그대로 x=1, 2로 적으면 계산 결과의 개수는 맞아 보여도 치환의 의미가 사라집니다. 특히 t=1이면 원래 변수 x는 얼마인지, 2ˣ=1을 만족하는 x를 어떻게 찾는지 먼저 묻습니다. 이 질문에 답하려면 같은 밑으로 바꾸는 과정뿐 아니라 지수함수의 입력과 출력이 어떻게 연결되는지도 직접 표시해야 합니다.

오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 학생이 4ˣ을 (2ˣ)²로 바꾸는지, t의 범위 t>0을 적는지, 2ˣ=1과 2ˣ=2를 각각 다시 푸는지 확인합니다. 같은 밑의 지수함수는 일대일이므로 등식에서는 지수를 비교할 수 있습니다. 따라서 2ˣ=1=2⁰에서 x=0이고, 2ˣ=2=2¹에서 x=1입니다. 반면 부등식이라면 밑이 1보다 큰지 0과 1 사이인지 먼저 살펴 대소 방향을 정해야 하며, 등식 풀이의 근거를 그대로 옮길 수 없습니다.

치환값을 원래 변수로 되돌린 수정 풀이

교사는 학생에게 인수분해 뒤의 식과 결론을 대신 써 주지 않고, t=1, 2를 원래 식 2ˣ=1, 2로 되돌려 적게 합니다. 학생이 직접 계산하고 지수를 표시하면 수정 풀이는 x=0 또는 1이 됩니다. 이제 각 값을 원래 방정식에 대입해 1−3+2=0, 4−6+2=0임을 확인합니다. 이 검산은 두 해가 실제로 식을 만족하는지 보여 주는 부분 검산이며, 두 값만 확인했다고 해서 다른 해가 없다는 근거가 되지는 않습니다. 다른 해가 없다는 것은 t에 대한 이차방정식의 해가 1과 2뿐이며, 지수함수 2ˣ가 각 양의 값에 하나의 실수 x를 대응시킨다는 사실로 설명됩니다.

배움노트 고등수학 수업에서는 풀이의 순서를 외우는 데서 멈추지 않고, 치환값과 원래 변수의 역할을 문장으로 구분해 적는 연습을 이어 갑니다. 식의 모양만 바꾼 문제와 조건 자체가 달라진 문제도 구별해야 합니다. 예를 들어 계수의 표현만 달라져도 t=2ˣ의 연결은 유지되지만, 치환 후 음의 근이 생기면 t>0 조건을 적용해야 합니다.

조건을 남긴 상태에서 다음 식에 다시 적용하기

풀이 순서와 답을 가린 채 문제와 검산 방법만 제시하고, 실수 x에 대해 4ˣ−2ˣ−2=0을 풀게 합니다. 학생은 t=2ˣ>0을 먼저 적고 t²−t−2=(t−2)(t+1)을 계산합니다. 두 근 t=2, −1 중 t>0을 만족하는 것은 2뿐이므로 2ˣ=2에서 x=1을 얻습니다. t=−1은 실수 지수함수의 출력 범위 밖이어서 제외합니다. 마지막으로 4−2−2=0을 대입해 검산합니다. 이때 양의 치환값의 개수를 세고, 각각을 원래 변수로 되돌렸는지, 검산 결과와 풀이가 맞는지 대조하는지 살핍니다. 표현만 바뀐 식인지 조건이 바뀐 식인지 확인하며, 다음 문제에서도 t>0과 되돌리기 단계를 빠뜨리지 않는 것이 점검할 핵심입니다.