장기동 수학과외

평균을 계산하는 과정에서 달라진 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 각 시험은 100점 만점이고, 세 시험의 평균이 80점 이상이 되도록 해야 합니다. 앞의 두 점수가 70점과 85점일 때 마지막 시험 점수 x의 최솟값을 구하는 문제입니다. 오답으로 80-(70+85)/2=2.5점이라고 했다면, 단순히 계산 결과만 고치는 것이 아니라 어떤 조건을 다르게 적용했는지 살펴봐야 합니다. 이 계산은 앞의 두 점수의 평균을 구한 뒤 80에서 빼는 방식인데, 문제는 두 점수의 평균이 아니라 세 점수를 합한 뒤 3으로 나눈 평균이 80점 이상이어야 한다고 말합니다. 또한 구해야 하는 것은 이미 정해진 평균에서 일부를 빼는 값이 아니라 마지막 시험에서 필요한 점수입니다.

필요한 총점과 부등식 세우기

교사는 먼저 “평균이 80점 이상이 되려면 세 시험의 총점은 적어도 몇 점이어야 할까?”라고 묻습니다. 평균은 총점을 시험 개수로 나눈 값이므로, 세 시험의 평균이 80점 이상이라는 조건은 세 시험의 총점이 80×3=240점 이상이라는 뜻입니다. 이 조건을 그대로 식으로 쓰면 (70+85+x)/3≥80입니다. 양변에 3을 곱하면 70+85+x≥240이 되고, 앞의 두 점수 합이 155점이므로 x≥85를 얻습니다. 여기서 240점은 최종 답이 아니라 세 시험에 필요한 총점이고, x가 마지막 시험에서 받아야 하는 점수입니다. 교사는 학생이 식을 바로 완성하기 어려워하면 평균 목표에 시험 개수를 곱하는 부분까지 함께 계산한 뒤, 155점에 x를 더해야 하는 이유와 240점 이상이어야 하는 이유를 이어서 직접 설명하게 합니다.

오답을 고쳐 다시 해결하기

학생이 처음의 2.5점이라는 답을 그대로 보지 않고 대표 문제를 다시 풀어 보도록 합니다. 이때 문제의 수치와 조건은 볼 수 있게 두고, 이전 풀이와 정답은 가린 상태에서 시작합니다. 학생은 먼저 “세 시험의 평균이 80점 이상”이라는 조건에 시험 개수 3을 반영하여 필요한 총점을 240점으로 정리합니다. 이어 앞의 두 점수 70점과 85점을 더해 155점을 구하고, 부족한 점수를 찾기 위해 240-155를 계산합니다. 따라서 마지막 시험 점수는 최소 85점입니다. 학생이 어느 부분을 바꾸었는지 설명하기 어렵다면 교사는 80에서 두 점수의 평균을 빼는 방식으로는 세 점수 전체의 평균 조건을 나타낼 수 없다는 점을 짚고, 총점 조건으로 바꾸는 단계까지 함께 살핍니다. 계산에서 막힌 것인지 조건 해석에서 막힌 것인지에 따라 도움의 양을 조절하며, 다른 풀이를 사용하더라도 세 시험의 평균 조건과 계산 결과가 일치하면 인정합니다.

조건에 대입하는 검산과 새 적용

구한 값이 조건을 만족하는지는 원래 평균식에 대입해 확인할 수 있습니다. 70+85+85=240이고, 240/3=80이므로 평균은 정확히 80점입니다. 따라서 “80점 이상”이라는 조건을 만족하며, x가 85보다 작아지면 총점이 240점보다 작아져 평균이 80점에 미치지 못합니다. 풀이 순서를 따라 쓴 경우에는 수정 풀이와 정답을 가리고 같은 문제를 다시 시작하게 하여, 필요한 총점을 먼저 구하고 마지막 점수를 판단하는지 확인합니다.

새 적용 문제로 앞의 두 점수가 72점과 81점일 때 세 시험의 평균이 80점 이상이 되기 위한 마지막 시험의 최솟값을 살펴봅니다. 조건은 같으므로 필요한 총점은 여전히 240점 이상입니다. 앞의 두 점수 합은 153점이므로 240-153=87, 따라서 마지막 시험은 최소 87점이어야 합니다. 추가로 “개수를 구할 때는 언제나 소수 부분을 버린다”는 생각을 구분할 필요가 있다면, 한 상자에 6개까지 담을 수 있고 물건 19개를 모두 담아야 하는 경우를 비교할 수 있습니다. 상자 3개로는 18개만 담을 수 있어 1개가 남으므로 최소 4개가 필요합니다. 이처럼 정수 개수는 조건에 따라 올림이 필요할 수 있으므로, 다음에는 학생이 수정 풀이를 가리고 문제의 조건을 근거로 답을 다시 구성하는지, 새 조건에서도 총점과 필요한 점수를 구분하는지를 확인합니다.