시지동 고등수학과외

오답에서 사라진 조건부터 찾기

공정한 동전 두 개를 독립적으로 던질 때 앞면이 정확히 한 번 나올 확률을 구하는 문제로 시작해 보자. 이렇게 답했다면 어떨까. 앞면의 개수는 0개, 1개, 2개 세 가지이므로 각각 같은 가능성을 가진다고 보고 확률을 1/3이라고 하는 것이다. 이 계산은 앞면의 개수라는 결과를 세 종류로 나눈 뒤, 각 종류가 같은 가능성을 가진다고 가정한다. 그러나 문제에서 같은 가능성을 보장한 것은 앞면 개수의 세 값이 아니라 동전 두 개의 실제 결과이다.

배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답 하나만 보고 곧바로 원인을 정하지 않는다. 먼저 “앞뒤와 뒤앞을 같은 근원사건 하나로 합쳐도 같은 가능성인가?”라고 묻는다. 학생은 두 동전의 순서를 구별해야 하는지 표시하고, 각 결과가 나올 가능성을 직접 대조한다. 또 원하는 사건과 전체 사건을 같은 기준으로 세었는지도 확인한다. 1/3이라는 값이 실제로 뜻하는 것은 세 가지 앞면 개수 중 하나를 고르는 비율이지, 공정한 동전 두 개의 네 가지 근원사건 중 원하는 사건의 비율은 아니다.

근원사건을 같은 단위로 정리하기

두 동전의 결과를 첫 번째 동전과 두 번째 동전의 순서쌍으로 쓰면 표본공간은 {앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤}이다. 공정하고 독립적이라는 조건에 따라 이 네 근원사건은 같은 가능성을 가진다. 앞면이 정확히 한 번인 사건은 {앞뒤, 뒤앞}이므로 원하는 근원사건은 2개, 전체는 4개이다. 따라서 학생은 교사가 제시한 첫 단계를 그대로 옮기지 않고, “같은 가능성을 가진 근원사건을 기준으로 세면 2/4=1/2”라는 식과 이유를 직접 완성한다.

계산 뒤에는 다른 방식의 확인도 한다. 앞면이 0회인 결과는 뒤뒤 하나이므로 1/4, 앞면이 2회인 결과는 앞앞 하나이므로 1/4, 앞면이 1회인 결과는 앞뒤와 뒤앞 두 개이므로 1/2이다. 세 확률의 합은 1이 되어 표본공간 전체를 빠뜨리지 않았음도 확인된다. 특히 앞면 개수 0, 1, 2는 세 종류이지만 각 종류에 속한 근원사건의 수가 각각 1개, 2개, 1개라는 점이 1/3과 1/2를 가르는 핵심이다.

조건을 바꾼 문제에 판단 옮기기

이제 풀이와 정답을 가린 채 문제와 조건만 남겨 두고 독립적으로 다시 시작한다. 공정한 주사위 두 개를 독립적으로 한 번씩 던질 때 눈의 합이 7일 확률을 구하는 문제다. 먼저 주사위의 순서를 유지한 눈의 순서쌍을 목록이나 표로 표시한다. 전체 근원사건은 6×6=36개이고, 합이 7인 경우는 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)의 6개다. 그러므로 확률은 6/36=1/6이다.

동전 문제에서 배운 것은 결과를 합계나 앞면 개수로 묶어도 묶음의 크기가 자동으로 같아지는 것은 아니라는 점이다. 주사위 문제에서도 순서를 없애 (1,6)과 (6,1)을 하나로 합치면 전체와 원하는 사건의 단위가 달라질 수 있다. 따라서 먼저 같은 가능성을 가진 순서쌍을 모두 세고, 그중 조건을 만족하는 쌍을 세어야 한다. 마지막으로 교사의 유도 표시 없이 동전 문제의 식과 이유를 다시 쓰게 하고, 주사위 문제에서는 바뀐 조건을 처리했는지 확인한다. 가능성의 단위를 섞는 흔적이 보이면 결과를 목록으로 통일한 뒤 다음 문제에서 다시 점검한다.