양산동 고등수학과외

예시 오답과 검산 결과를 나란히 보기

확률과 통계에서 모집단과 표본을 구분하는 문제는 계산식의 모양보다 조건을 정확히 읽는 일이 먼저다. 다음과 같은 문제를 보자. 모집단이 N(20,36)이고, 독립적으로 임의추출한 크기 9인 표본의 평균 X̄의 평균과 표준편차를 구하는 상황이다. 여기서 N(20,36)의 두 번째 값은 분산이므로 모집단의 표준편차는 √36=6이다.

이렇게 답했다면 어떨까. 평균은 20, 표준편차는 6/9=2/3이라고 쓴 경우다. 한편 표본평균의 분산을 먼저 계산하면 V(X̄)=36/9=4이고, 여기에 제곱근을 취하면 표준편차는 √4=2가 된다. 두 결과를 나란히 놓으면 2/3과 2가 달라진다는 사실은 확인되지만, 오답 하나만으로 원인을 바로 확정할 수는 없다. 배움노트 고등수학 수업에서는 계산을 지우고 정답만 전달하기보다, 어느 단계에서 모집단의 표준편차와 표본 크기의 역할이 섞였는지 확인한다.

“분산 36/9에 제곱근을 취하면?”에서 멈추기

먼저 “표본평균의 분산 36/9에 제곱근을 취하면?”이라고 묻고 학생이 직접 답하게 한다. 36/9=4, √4=2라고 계산했다면 표준편차의 정의와 연결된 절차는 이해한 것이다. 반대로 36/9를 계산하고도 4를 표준편차라고 하거나, 6을 9로 나누어야 한다고 계속 말한다면 표본 크기가 분산과 표준편차에 각각 어떻게 반영되는지 다시 살펴볼 필요가 있다.

교사는 먼저 E(X̄)=20, V(X̄)=36/9=4를 적고 여기서 멈춘다. 학생이 다음 줄에 표준편차 √V(X̄)=√4=2를 직접 잇게 한다. 표본평균은 표본마다 달라지는 확률변수이며, 표본비율도 마찬가지로 표본에 따라 값이 달라진다. 따라서 표본에서 얻은 요약값을 모집단의 확정값처럼 읽지 않아야 한다. 추정은 지정된 모집단과 독립 임의추출이라는 조건 안에서 해석하며, 신뢰구간 역시 한 번의 계산 결과를 절대적인 값으로 고정하는 절차가 아니라 같은 방법을 반복했을 때의 성질과 관련된다.

조건을 남긴 채 직접 다시 적용하기

학생의 수정 풀이는 간단하다. 모집단의 분산이 36이고 표본 크기가 9이므로 표본평균의 분산은 36/9=4, 따라서 표준편차는 √4=2이다. 이는 모집단 표준편차 6을 √9=3으로 나눈 2와도 일치한다. 다만 이 확인은 주어진 독립 임의표본 조건과 모집단의 분산이 그대로 유지될 때 성립한다.

이제 문제와 조건, 필요한 수치만 남기고 풀이와 정답을 가린다. 같은 모집단 N(20,36)에서 독립 임의표본을 뽑을 때 표본 크기를 9에서 36으로 늘리면 표본평균의 표준편차는 몇 배가 되는지 묻는다. 학생은 σ/√n에 따라 6/3=2에서 6/6=1로 바뀌므로 1/2배라고 풀이한다. 분산도 4에서 1로 1/4배가 되고, 표준편차는 그 제곱근 비율인 1/2배가 된다고 검산한다. 단순히 숫자 9를 36으로 바꿔 표현한 것이 아니라 표본 크기라는 실제 조건이 달라진 문제임을 구분해야 한다.

마지막에는 기본 문제의 정답을 보이지 않은 채 경계값과 제외 조건부터 표시하게 한다. 학생은 모집단, 실제 표본, 이미 알려진 모수, 추정할 모수를 각각 구분하고, 새 문제에서 무엇이 달라졌는지도 한 문장으로 쓴다. 이렇게 풀이·정답·유도 표시를 가린 독립 재적용을 거치면 계산 결과뿐 아니라 표본 크기와 분산의 관계까지 스스로 설명할 수 있다.