이시아폴리스 고등수학과외

정규분포와 표준화를 공부할 때 “음수로 나누면 부등호 방향이 바뀐다”고 말할 수 있는 것과, 실제 식에 정확히 적용하는 것은 다르다. 배움노트 고등수학 수업에서는 말로 아는 규칙을 계산 과정과 대조하며 확인한다. 다음 문제를 보자. X~N(0,1), Y=−X일 때 P(Y≤1)을 X에 대한 조건으로 바꾸고 값을 구하는 상황이다. 제시된 자료는 P(0≤X≤1)=0.3413이다.

−1을 곱한 부등식에서 멈추지 않고 원식을 대조하기

이렇게 답했다면 먼저 P(−X≤1)=P(X≤−1)이라는 식을 처음 식과 나란히 적어 본다. −X≤1에서 양변을 −1로 나눌 때는 부등호가 반대가 되어 X≥−1이어야 한다. 따라서 사건은 P(X≥−1)이다. 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 학생에게 “−1로 나눌 때 방향은 어떻게 되는가?”, “처음 쓴 식과 바꾼 식의 영역은 어느 쪽인가?”라고 묻는다. 이어 수직선에 −1을 표시하고 오른쪽 영역을 직접 칠하게 한다. 표준편차와 분산을 혼동하는지, 표준화한 값의 구간과 원래 확률을 연결하지 못하는지도 함께 확인한다.

대칭성과 표준정규확률로 수정 풀이를 완성하기

교사는 X~N(μ,σ²)에서 Z=(X−μ)/σ로 표준화한다는 기준을 보여 주되, 식에 대입하고 답을 고르는 일은 학생이 직접 하게 한다. 이 문제에서는 X 자체가 표준정규변수이므로 별도의 표준화 계산이 필요 없다. 학생이 P(X≥−1)을 수직선에 표시한 뒤, 표준정규분포의 대칭성을 이용해 P(X≥−1)=P(X≤1)로 연결한다. 전체 확률 0.5와 P(0≤X≤1)=0.3413을 합치면 P(X≤1)=0.5+0.3413=0.8413이다. 그러므로 수정한 답은 P(Y≤1)=0.8413이다.

분포 변환을 다른 조건에 다시 적용하기

검산할 때 Y=−X이고 X가 표준정규분포이므로 Y도 표준정규분포라는 점을 확인하면 P(Y≤1)=0.8413이라는 결과가 일치한다. 다만 수치 하나가 맞았다는 사실만으로 모든 풀이가 옳다고 보지는 않는다. 문제의 식, 부등호 방향, 확률 영역을 각각 표시해 대조해야 한다. 이후에는 문제와 조건, 필요한 표만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 재시도한다. 예를 들어 X~N(3,4), Y=2X+1일 때 Y의 분포를 구한다. 평균은 2·3+1=7이고, X의 분산이 4이므로 Y의 분산은 2²·4=16이다. 따라서 Y~N(7,16)이다. 표준편차는 2에서 4로 두 배가 되었고 분산은 그 제곱인 16이므로 조건도 맞는다. 여기서는 양의 배율이라 부등호를 뒤집지 않지만, 음의 배율이라면 사건 변환 때 방향을 바꿔야 한다. 다음 재시도에서는 확인 질문만 보고 학생이 필요한 식을 처음부터 세우게 하며, 표에서 숫자를 찾기 전에 원래 구간을 Z의 구간으로 바꾸고 확률 영역을 먼저 표시하게 한다.