장기동 고등수학과외

“실수부와 허수부를 서로 더해 비교해도 되는가?”라는 질문에서 풀이가 멈췄다고 해 보자. 문제는 실수 a,b에 대해 a+(b−1)i=2+3i일 때 a,b를 구하는 것이다. 이때 복소수의 같음을 한 개의 실수 등식으로 바꾸는지, 아니면 실수부분과 허수부분을 구별하는지는 먼저 나누어 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답만 고치는 데 그치지 않고, 학생이 어떤 비교 규칙을 사용했는지 말하고 직접 표시하게 한다.

더한 등식이 원래 복소수 조건을 대신할 수 있는지 확인하기

이렇게 답했다면 풀이를 그대로 믿기보다 “a+(b−1)과 2+3의 합을 비교하면 원래 두 복소수가 같다는 뜻이 되는가?”라고 묻는다. 실수부분과 허수부분을 더해 a+b−1=5를 세우는 것은 두 성분의 합이 같다는 정보일 뿐이다. 따라서 이 한 식만으로는 복소수의 같음을 표현할 수 없고, 실제로 여러 a,b가 그 식을 만족할 수 있다. 오답 하나만으로 개념을 모른다고 확정하지 않고, 학생이 실수부와 허수부를 알고도 미지수를 잘못 정리했는지 설명을 듣는다. 학생은 왼쪽에서 i가 붙지 않은 항과 i가 붙은 항에 밑줄을 각각 긋고, 오른쪽에서도 2와 3i를 같은 방식으로 표시한다.

실수부분과 허수부분을 각각 옮겨 적어 원래 식과 대조하기

a,b가 실수일 때 두 복소수가 같으려면 실수부분끼리 같고 허수부분끼리 같아야 한다. 그러므로 a=2, b−1=3을 서로 독립된 두 등식으로 쓴다. 여기서 b−1=3을 b=4로 정리한 뒤, 학생이 직접 후보 a=2,b=4를 원래 조건에 대입한다. 좌변은 2+(4−1)i=2+3i가 되어 우변과 같으므로 정답은 a=2,b=4이다. 이 검산은 특정 수를 넣어 우연히 맞는지 보는 데 그치지 않고, 두 성분을 각각 비교해 얻은 값이 처음 주어진 복소수 등식을 다시 복원하는지 확인하는 절차다. 풀이 중 i를 계수로 보지 않고 일반 항처럼 더했는지도 함께 표시하게 한다.

표현이 바뀌어도 같은 근거를 다시 적용하기

다음에는 문제 자료와 조건만 남기고 풀이와 정답은 가린 상태에서, 실수 a,b가 (a+b)+(a−b)i=4+2i를 만족할 때를 다시 시작한다. 앞 문제의 숫자나 모양을 외우는 것이 아니라 실수부분과 허수부분을 각각 비교해야 한다는 근거를 먼저 적는다. 따라서 a+b=4, a−b=2가 되고, 두 식을 더하면 2a=6이므로 a=3, 이를 대입해 b=1을 얻는다. 확인하면 (3+1)+(3−1)i=4+2i로 원래 조건이 복원된다. 이는 같은 방법을 다른 표현에 적용한 경우이며, 단순히 문장이나 숫자만 바꾼 것과 조건 자체가 달라진 문제를 구별해야 한다. 학생이 미지수를 다시 한 식으로 합치려 한다면 두 성분을 두 줄에 옮겨 적게 하고, 복소수의 같음을 판단한 근거를 끝까지 직접 쓰는지 다음 점검에서 살핀다.