퇴계동 고등수학과외

“x가 양수일 수도 있으므로 x−2”라는 판단 점검

예시 답안에서 “x가 양수일 수도 있으므로 x−2라 씀.”이라는 한 줄이 나왔다고 하자. 문제는 실수 x<2일 때 |x−2|를 절댓값 없이 나타내는 것이다. 이때 먼저 확인할 것은 x의 부호가 아니라 절댓값 안쪽에 있는 x−2의 부호다. x가 양수인지 음수인지는 이 식의 부호를 바로 결정하지 않는다. 절댓값은 수직선에서 0으로부터의 거리이므로, x−2가 나타내는 수가 0의 어느 쪽에 있는지를 판단해야 한다. x<2라는 조건에서 2를 뺀 부등식을 직접 적어 x−2<0임을 확인하게 한다. 오답 하나만으로 거리의 뜻을 모른다고 단정하지 않고, “판단해야 하는 부호는 x인가 x−2인가?”라고 묻고 학생이 주어진 범위에서 안쪽 식을 계산해 표시하도록 한다.

안쪽 식의 부호와 절댓값의 정의로 수정하기

수직선에서 x−2는 x가 2에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 방향 있는 값이다. x<2이면 x−2는 음수이므로, 그 거리를 양수로 바꾸려면 안쪽 식 전체의 부호를 바꿔야 한다. 따라서 첫 비교는 x−2<0이고, 여기까지 확인한 뒤 남은 계산은 학생이 직접 적는다. 학생이 |x−2|=−(x−2)=2−x라고 수정했다면, 단순히 결과를 맞혔는지보다 왜 괄호 전체에 마이너스를 붙였는지 설명하게 한다. 정답은 2−x이다. 실제로 x<2에서 2−x>0이며, 양변을 제곱하면 (2−x)²=(x−2)²이므로 원래 거리와 같은 크기를 갖는다. 예를 들어 x=1을 대입하면 원식은 |1−2|=1, 수정한 식도 2−1=1이 된다. 이 수치 대입은 전체 조건을 대신하는 증명이 아니라, 부호와 결과를 부분적으로 확인하는 검산으로 사용한다.

조건을 남긴 채 다시 적용하고 다음 판단으로 연결하기

다음에는 절댓값 안의 부호를 판단하는 방법을 유지하되, 표현과 조건이 달라진 식을 살펴본다. 실수 x≤1일 때 √((x−1)²)을 간단히 하는 문제에서는 제곱근 기호가 붙은 제곱을 먼저 √(u²)=|u|로 읽는다. 여기서 u=x−1이고, 주어진 조건 x≤1로부터 x−1≤0이므로 |x−1|=1−x이다. 따라서 정답은 1−x이며, x=1에서 0을 포함하고 결과가 항상 비음수인지 확인할 수 있다. 제곱하면 (1−x)²=(x−1)²이 되어 원래 식과도 대조된다. 이는 앞 문제의 식을 말만 바꾼 것이 아니라, 제곱근이 포함되고 경계가 x≤1로 바뀐 경우이므로 조건을 다시 읽어야 한다. 재적용할 때는 문제의 식과 범위, 필요한 자료만 남기고 풀이와 정답은 가린다. “판단해야 하는 부호는 x인가 x−2인가?”라는 질문에 맞는 근거를 고른 뒤 학생이 수정 풀이를 다시 쓰는지 본다. 한 방향만 남는다면 해당 중심의 양쪽에 같은 거리를 직접 표시하고, 부호 경계와 등호 포함 여부까지 확인한다.