효목동 고등수학과외

오답에서 사라진 조건 찾기

서로 다른 5명 중 직책 없이 대표 2명을 뽑는 경우의 수를 구하라는 문제를 보자. 이렇게 답했다면 풀이에는 5·4=20이라는 계산만 남아 있다. 먼저 문제의 조건 중 무엇이 계산에서 사라졌는지 표시해 본다. 두 사람에게 회장과 부회장처럼 역할이 정해져 있는가, 아니면 대표라는 같은 자격으로 뽑는가? 직책이 없다는 말은 두 사람을 뽑은 결과에서 순서를 구별하지 않는다는 뜻이다. 따라서 5명 중 첫 번째 사람을 고르고 두 번째 사람을 고르는 순서가 답에 영향을 주는지부터 확인해야 한다.

오답 하나만 보고 순서 개념을 몰랐다고 단정하지 않는다. 제한 조건을 계산에 반영하지 못한 것인지도 함께 살핀다. A와 B를 뽑은 경우와 B와 A를 뽑은 경우가 서로 다른 대표 집합을 만드는지 학생에게 묻고, 두 경우를 직접 적어 보게 한다. 대표 집합만 비교하면 AB와 BA는 같은 결과임을 확인할 수 있다. 반대로 직책이 있다면 회장 A·부회장 B와 회장 B·부회장 A는 서로 다른 결과다.

중복을 표시하며 식을 다시 세우기

5·4=20은 첫 번째 자리와 두 번째 자리를 구분해 센 목록이다. 여기서 AB와 BA처럼 같은 두 사람을 순서만 바꾸어 두 번 센 항목을 표시한다. 모든 대표 2명 집합은 정확히 두 가지 순서로 목록에 나타나므로, 전체 20을 같은 배수 2!=2로 나눌 수 있다. 이 근거를 바탕으로 학생이 직접 20÷2!=10을 완성하게 한다. 답은 10가지이며, 이 결론은 직책이 없고 두 사람을 겸임 없이 같은 자격으로 뽑는 조건에서 성립한다.

학생은 작은 목록을 일부 만들어 AB와 BA, AC와 CA처럼 짝을 지어 본다. 각 짝이 하나의 대표 집합으로 합쳐지는지, 빠진 집합이나 세 번 이상 센 집합은 없는지 직접 대조한다. 단순히 ‘조합은 나누기’라고 외우는 대신, 순서 있게 센 결과가 정확히 두 번 반복되었다는 사실이 식의 이유가 된다. 배움노트 고등수학 수업에서도 이런 식으로 조건, 중복, 나눌 배수를 차례로 말하게 하면 계산식과 문제의 뜻이 연결된다.

직책이 생겼을 때 판단 옮기기

이제 문제 자료만 남기고 풀이식과 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 다음 상황을 시작한다. 서로 다른 5명 중 회장 1명과 부회장 1명을 겸임 없이 뽑는 경우의 수를 구하라. 학생은 먼저 직책이 두 개이므로 선택의 순서가 결과를 바꾸는지 말하고, 첫 직책에 들어갈 사람 5명과 다음 직책에 들어갈 남은 사람 4명을 표시한다. 따라서 5·4=20이고 정답은 20가지다. 같은 두 사람을 뽑더라도 직책 배치가 두 가지이므로, 대표 2명 집합 10가지에 2를 곱한 결과와도 일치한다.

마지막으로 다시 풀이를 가린 채 처음 문제의 조건과 검산 방법만 제시한다. 학생이 ‘직책 없음’을 반영해 5·4를 그대로 답으로 쓰지 않고 2!로 나누는 계산을 구성하는지 살핀다. 이어 직책 있는 문제에서는 왜 나누지 않는지 설명하고 두 결과를 대조한다. 표현만 바뀐 문제인지 실제 조건이 바뀐 문제인지 구별하면서, 작은 목록으로 중복 또는 누락을 찾아 검산하는 습관까지 이어 간다.