대전봉명동 고등수학과외

$(2+i)^2$에서 빠진 곱을 찾는 과정

복소수와 이차방정식을 공부할 때는 $(2+i)^2$을 $a+bi$ 꼴로 계산하는 문제에서 교차항을 놓치기 쉽다. 이렇게 답했다면, $(2+i)^2$을 $2^2+i^2=4+i^2=3$으로 정리한 셈이다. 결과만 보고 곧바로 원인을 단정하지 않고, 먼저 “처음 식에서 어느 판단이 빠졌는가?”, “$2\cdot2\cdot i$ 항은 어느 곱에서 생기는가?”라고 확인한다. 학생이 $(2+i)^2$을 $(2+i)(2+i)$로 다시 펼쳐 각 곱을 직접 표시하게 하면, 실수 범위의 제곱 규칙을 복소수에 그대로 옮긴 것인지, $i^2=-1$의 적용을 빠뜨린 것인지 구분할 수 있다.

두 교차항을 표시해 수정 계산하기

교사는 제곱근 기호의 뜻이나 방정식의 해를 섞어 설명하지 않고, 지금 필요한 곱셈 구조에 집중한다. $(2+i)(2+i)$에는 $2\cdot2$, $2\cdot i$, $i\cdot2$, $i\cdot i$의 네 항이 있으며, 가운데 두 항이 각각 $2i$가 된다. 따라서 학생은 설명을 들은 뒤 다음 등식을 직접 작성한다.

$(2+i)^2=4+2i+2i+i^2=4+4i-1=3+4i$.

여기서 $i^2=-1$은 실수부를 바꾸고, 두 교차항의 합 $4i$는 허수부를 만든다. 직접 곱한 네 항을 실수부와 허수부로 나누어 각각 3과 4인지 확인하면 정답은 $3+4i$이다. $4+i^2=3$은 실제로 교차항을 제외한 부분만 계산한 값이므로, 주어진 제곱 전체의 값과 같지 않다는 점도 대조한다. 같은 식을 숫자만 바꾸어 반복하는 데 그치지 않고, 표현이 바뀐 문제인지 조건 자체가 바뀐 문제인지 구별해야 한다. 예를 들어 같은 수의 제곱은 두 교차항이 더해지지만, 켤레복소수와의 곱에서는 부호가 달라져 허수항이 소거된다.

켤레복소수 조건까지 숨긴 상태에서 재적용하기

다음 점검은 문제와 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 실수 $a,b$에 대해 $x^2+ax+b=0$의 한 근이 $1+2i$일 때, 다른 근과 $a,b$를 구하라. 먼저 계수가 실수라는 조건을 사용해 다른 근을 $1-2i$로 놓는다. 두 근의 합은 $2$이므로 $-a=2$, 따라서 $a=-2$이다. 두 근의 곱은 $(1+2i)(1-2i)=1+4=5$이므로 $b=5$이다. 이때 허수항은 서로 반대 부호여서 사라지고 실수부만 남는다.

학생은 결과를 외우지 말고 $(x-1-2i)(x-1+2i)=(x-1)^2+4=x^2-2x+5$를 직접 전개해 계수와 대조한다. 대표 문제는 다시 정답 문장을 보지 않은 채 $3+4i$와 계산에 사용한 네 항을 적고, 새 조건에서는 켤레복소수와 두 근의 합·곱을 순서대로 표시한다. 부호가 혼동되면 $i^0,i^1,i^2,i^3$의 네 값을 직접 계산하고, 켤레복소수의 곱에서 허수항이 어떻게 달라지는지 다시 확인한다. 이렇게 해야 배움노트 고등수학 수업 학습에서도 표현만 바뀐 문제와 조건이 달라진 문제를 구별하며 풀이를 재현할 수 있다.