부산북구 고등수학과외

미적분Ⅱ에서 도함수와 그래프를 연결할 때는 식의 한 부분만 보고 전체 변화를 판단하지 않는 것이 중요하다. 다음과 같은 수업 예시를 생각해 보자. 문제는 $f(x)=\frac{\ln x}{x}\;(x>0)$의 극댓값을 구하는 것이다. 학생이 “분자 $\ln x$가 계속 커지므로 극댓값은 없다”고 답했다면, 계산 결과보다 먼저 어떤 판단이 빠졌는지를 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답을 곧바로 개념 부족으로 단정하지 않고, 학생이 식의 구조와 정의역을 어떻게 읽었는지 질문으로 살핀다.

분자의 증가만으로 함수 전체를 판단했는지 확인하기

먼저 “분자인 $\ln x$가 증가하더라도 분모 $x$도 함께 커지는 몫의 변화까지 확인했는가?”라고 묻는다. 이어 학생이 몫의 도함수 분자를 직접 계산해 $1-\ln x$인지 표시하게 한다. 이때 일계도함수와 이계도함수의 역할을 구분하는지도 확인한다. 극값은 일계도함수의 부호가 좌우에서 어떻게 바뀌는지로 판단하고, 이계도함수의 부호는 그래프의 볼록성 변화를 살피는 데 사용한다. 도함수가 0이라는 사실만으로 극값이나 변곡점을 확정할 수 없으며, 변곡점 역시 볼록성이 실제로 바뀌어야 한다.

정의역 안에서 도함수의 부호를 직접 나누어 보기

학생이 $\ln x$의 증가만 적었다면, 원함수의 도함수를 다시 쓰게 한다. $$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$$ 이고 정의역 $x>0$에서 $x^2$는 항상 양수다. 따라서 부호는 $1-\ln x$가 결정한다. $1-\ln x=0$에서 $\ln x=1$, 즉 $x=e$를 얻는다. 이제 학생이 $0<x<e$에서는 $1-\ln x>0$, $x>e$에서는 $1-\ln x<0$라고 직접 구간을 나누어 표시하게 한다. 그러면 함수는 $0<x<e$에서 증가하고 $x>e$에서 감소하므로 $x=e$에서 극댓값을 갖는다. $\ln e=1$을 대입하면 $f(e)=\frac1e$이므로 정답은 극댓값 $1/e$, 그 위치는 $x=e$이다.

풀이를 가린 뒤 조건이 바뀐 문제에 다시 적용하기

같은 대표 문제의 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제와 조건 $x>0$만 남기고, 학생이 도함수의 분자와 좌우 부호를 다시 적게 한다. 이후 표현만 달라진 경우와 실제 조건이 달라진 경우를 구별하도록 다음 문제를 제시한다. $f(x)=\frac{\ln x-a}{x}\;(x>0,\ a\in\mathbb R)$가 $x=1$에서 극댓값을 갖도록 $a$를 구하는 문제다. 학생은 $$f'(x)=\frac{1-\ln x+a}{x^2}$$ 를 계산하고 $f'(1)=1+a=0$에서 $a=-1$을 얻는다. 그러나 미분계수가 0인 것만 답으로 쓰지 않고, $a=-1$일 때 분자가 $-\ln x$가 되어 $x=1$의 좌우에서 $+$에서 $-$로 바뀌는지 확인해야 한다. 따라서 실제 극댓값 조건을 만족하며 $f(1)=1$이다. 마지막에는 계산 결과와 성립 조건을 각각 적었는지, 원함수의 좌표까지 구했는지 점검한다. 도함수 0을 곧바로 결론으로 쓰면 좌우 구간 부호를 다시 표시하게 하여, 다음 로그 몫함수에서도 같은 판단 순서를 스스로 재현하도록 한다.