상인동 중등수학과외

학생은 자료 A가 2, 4, 6이고 자료 B가 각 값에 5를 더한 7, 9, 11인 문제를 보며 “두 분산은 11−7=4다.”라고 적었다. 상인동중등수학과외 수업에서는 이 한 줄을 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고, 어떤 흩어짐의 정의를 사용했는지부터 확인했다. 11−7은 자료 B의 최댓값에서 최솟값을 뺀 값이므로 범위 4를 구한 식에 가깝다. 그러나 문제에서 비교하라고 한 것은 평균과 분산이었다.

“11−7”에서 범위와 분산을 구분하기

교사는 먼저 “범위는 어떻게 구하나요?”라고 물었다. 학생은 “최댓값에서 최솟값을 뺍니다.”라고 답했다. 이어 “분산은 무엇의 평균인가요?”라고 묻자, 학생은 편차를 계산하지 않고 값 사이의 차이를 바로 사용하려 했다. 교사는 답을 대신 완성하지 않고, 두 정의를 짧게 나란히 적었다. 범위 = 최댓값 − 최솟값, 분산 = 각 값에서 평균을 뺀 편차를 제곱한 뒤 그 평균이다.

이 질문과 처음 계산을 함께 보니 학생은 범위의 계산 방식은 알고 있었지만, 분산에도 같은 차이를 적용하고 있었다. 따라서 지금 확인할 지점은 산술 계산의 정확성보다 같은 흩어짐 지표라도 계산 정의를 구분하는지 여부다. 교사는 “먼저 각 자료의 평균을 구해 볼까요?”라고만 말하고 다음 식은 학생이 직접 쓰게 했다.

평균이 달라도 편차는 그대로인 수정 풀이

학생은 자료 A의 평균을 (2+4+6)÷3=4, 자료 B의 평균을 (7+9+11)÷3=9라고 계산했다. 이어 A에서는 각 값에서 4를 빼고, B에서는 각 값에서 9를 빼야 한다고 표시했다. A의 편차는 2−4=−2, 4−4=0, 6−4=2이다. B의 편차는 7−9=−2, 9−9=0, 11−9=2이다.

학생은 두 자료의 편차가 각각 −2, 0, 2로 같다는 점을 확인한 뒤, 편차를 제곱해 4, 0, 4를 얻었다. 따라서 각 자료의 분산은 (4+0+4)÷3=8/3이다. 수정한 답안에는 “A의 평균은 4, B의 평균은 9이고, 편차가 같으므로 두 분산은 모두 8/3이다.”라고 적었다. 처음의 11−7=4라는 결론은 B의 범위를 구한 것이고, 수정 풀이에서는 평균을 기준으로 한 편차 제곱의 평균을 계산했다는 점이 달라졌다.

검산은 같은 분산 계산을 반복하지 않는 방식으로 진행했다. B의 각 값에서 평균 9를 빼면 −2, 0, 2가 되어 A에서 평균 4를 뺀 편차와 일치한다. 모든 편차가 같으면 편차 제곱과 그 평균도 같아야 하므로 두 분산이 모두 8/3이라는 결론이 조건과 맞는다. 반면 11−7=4는 범위라는 별도의 지표임을 다시 확인했다.

더하기와 곱하기에서 달라지는 분산의 변화

새 문제에서는 자료 A가 2, 4, 6이고 자료 C가 각 값을 두 배한 4, 8, 12이다. 이번에는 같은 수를 더하는 이동이 아니라 같은 수를 곱하는 배율 변화가 조건이다. 자료 C의 평균은 (4+8+12)÷3=8로, 자료 A의 평균 4가 두 배가 되었다. C의 편차는 4−8=−4, 8−8=0, 12−8=4이므로 A의 편차 −2, 0, 2가 각각 두 배가 되었다.

따라서 C의 분산은 (16+0+16)÷3=32/3이다. 평균은 4에서 8로 두 배지만, 편차를 제곱하므로 분산은 8/3에서 32/3으로 네 배가 된다. 같은 수를 더했을 때에는 편차가 변하지 않아 분산이 유지되었지만, 같은 수를 곱하면 편차와 분산의 배율이 달라진다는 점이 새 조건의 핵심이다. 다음 문제에서는 학생이 원래 자료의 풀이 부분만 가린 뒤 평균과 편차를 혼자 적고, 범위와 분산의 정의를 구분한 근거까지 말하게 한다. 교사는 정답뿐 아니라 B의 편차가 A와 같은지 또는 C의 편차가 몇 배인지 식으로 확인하고, 막힐 때에도 “범위는 최댓값−최솟값이고 분산은 모든 편차 제곱의 평균이다.”라는 문장까지만 제시한다.