상인동 고등수학과외

기본 문제의 답과 풀이를 가린 채 다시 시작한다. 임의추출한 400명 중 240명이 찬성했고, 큰 표본 근사로 95% 신뢰구간을 구하라는 조건만 남겨 둔다. 먼저 “제시한 식의 마지막 제곱근을 적용했는가?”라는 질문에 답하면서 풀이의 근거를 복원한다. 처음 오답처럼 표준오차를 0.6·0.4/400=0.0006으로 바로 사용하는 경우, 계산 결과만 보고 원인을 확정하지 않는다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 학생이 직접 식에 밑줄을 긋고, 제곱근의 위치를 표시한 뒤 자신이 실제로 계산한 식과 문제의 식을 대조하게 한다.

표본비율과 표준오차를 구분하기

240명은 찬성한 표본의 수이고 160명은 찬성하지 않은 표본의 수다. 따라서 표본비율은 p̂=240/400=0.6이다. 이 값은 모집단 전체의 확정된 비율이 아니라 이번 표본에서 관측한 요약값이다. 표본평균과 표본비율은 표본이 달라지면 달라질 수 있으므로, 학생에게 “0.6은 모집단의 실제 비율인가, 아니면 표본에서 계산한 값인가?”라고 묻는다. 이어 표본 크기 n=400과 p̂(1−p̂)=0.6·0.4를 식에 정확히 넣는다. 표준오차는 √[0.6·0.4/400]=√0.0006≈0.024495이며, 제곱근을 생략하면 표준오차가 아니라 그 제곱에 해당하는 값만 남는다.

반폭과 구간의 끝점을 직접 검산하기

학생이 수정 풀이를 직접 쓰게 하면 95% 신뢰구간은 p̂±1.96√[p̂(1−p̂)/n]으로 정리된다. 반폭은 1.96×0.024495≈0.04801이므로 0.6−0.04801≈0.55199, 0.6+0.04801≈0.64801이다. 소수 셋째 자리까지 쓰면 약 [0.552, 0.648]이다. 계산기를 사용하더라도 먼저 성공 240, 실패 160을 표시하고, 표본비율이 0과 1 사이인지, 양 끝점이 그 범위를 벗어나지 않는지 대조한다. 성공과 실패가 모두 충분히 큰 400명 표본이므로 이 자료에서는 큰 표본 근사를 적용하는 데 무리가 없는 조건도 확인한다. 신뢰구간은 이번 모집단 비율을 단정하는 문장이 아니라, 지정된 모집단에서 같은 추출과 구간 산출 절차를 반복할 때의 성질을 바탕으로 모비율을 추정하는 방법이다.

표현이 바뀐 문제에서 추정을 다시 판단하기

풀이와 정답을 가린 상태로 문제와 조건만 남긴다. 전체 유권자의 찬성 비율을 추정하려고 400명을 임의추출했더니 240명이 찬성했다면, 학생은 먼저 240/400을 표본비율로 표시하고 0.6을 계산한다. 그러나 모집단 전체를 조사한 값이 아니므로 모비율을 확정할 수는 없다. 여기서는 신뢰구간을 구하라는 조건이 빠졌으므로, 한 수치로 추정하는 경우와 표본 크기를 반영한 구간으로 추정하는 경우를 구별해야 한다. 다음 점검에서는 모집단, 실제로 조사한 표본, 이미 알려진 모수, 추정하려는 모수를 각각 적게 한다. 같은 숫자가 반복되어도 표현만 바뀐 것인지, 표본 크기나 추출 방법 같은 조건이 실제로 달라진 것인지 확인한 뒤 필요한 식을 처음부터 세우게 한다. 외운 0.6을 다시 적는 데서 끝나지 않고, 왜 그것이 표본비율이며 왜 모비율을 확정하지 못하는지 근거까지 말할 수 있어야 다음 풀이로 이어진다.