용산동 중등수학과외

“음수는 근호 안에 있나요, 밖에 있나요?”

중3 제곱근과 실수 단원에서 학생에게 먼저 물었다. “−√25와 √(−25)에서 음수의 위치를 비교해 볼까요?” 학생은 두 식 모두 음수가 들어 있으니 같은 종류의 수일 것 같다고 말했다. 그래서 용산동중등수학과외 수업에서는 바로 정답을 알려 주기보다, 음수가 근호 안에 있는지 밖에 있는지 손가락으로 각각 표시하게 했다. 이 구분이 필요한 이유는 근호의 값과 그 앞에 붙은 부호가 서로 다른 역할을 하기 때문이다.

교사는 “√25에서 먼저 계산되는 수는 무엇인가요?”라고 짧게 물었다. 학생은 5라고 답했다. 이어 “그렇다면 −√25에서 마이너스는 어디에 있나요?”라고 묻자, 학생은 근호 밖에 있다고 표시했다. 이 답을 통해 단순히 계산을 틀린 것인지, 음수의 위치를 해석하는 과정에서 판단이 달라진 것인지 확인하기로 했다.

25의 제곱근과 √25를 따로 읽기

대표 문제는 “25의 제곱근을 모두 쓰고 √25의 값을 구하라”이다. 학생의 처음 답안에는 “−√25는 실수가 아니다”라고 적혀 있었다. 학생은 근호 안에 음수가 있어야만 문제가 된다고 생각한 것이 아니라, 근호 앞의 마이너스까지 제곱근의 일부처럼 받아들인 셈이다. 다만 √25를 계산해 5라고 본 부분은 맞게 처리했으므로, 모든 풀이가 잘못되었다고 단정하지 않고 처음 판단이 달라진 지점만 확인했다.

교사는 −√25와 √(−25)를 나란히 적고 음수의 위치를 다시 표시했다. 설명은 한 단계로 제한했다. “−√25는 먼저 √25를 계산한 뒤 그 반대수를 취한 것이므로 5의 반대수 −5입니다. 따라서 실수예요.” 반면 √(−25)는 음수가 근호 안에 있으므로 실수 범위에서는 값을 구할 수 없다. 학생은 설명을 들은 뒤에도 두 식을 직접 비교해 근호 안과 밖의 부호를 확인해야 했다.

학생이 다시 쓴 풀이는 다음과 같다. 25의 제곱근은 5, −5이다. 왜냐하면 5²=25이고 (−5)²=25이기 때문이다. 그러나 √25는 음이 아닌 제곱근이므로 5이다. 처음에는 −√25를 제곱근의 목록에서 제외해야 한다고 생각했지만, 수정한 뒤에는 ‘제곱해서 25가 되는 수를 모두 찾는 질문’과 ‘기호 √가 가리키는 음이 아닌 값’을 분리해 적었다.

계산을 반복하지 않는 검산

검산은 같은 식을 다시 계산하는 방식으로 끝내지 않았다. 학생에게 두 수를 제곱해 보게 하자 5²=25, (−5)²=25가 성립했다. 따라서 25의 제곱근이 5와 −5라는 결론을 조건으로 확인할 수 있다. 그런 다음 √25는 제곱근 전체를 뜻하는 표현이 아니라 음이 아닌 제곱근을 가리킨다는 정의와 대조했다. 그러므로 √25=5이고 −√25=−5도 실수라는 판단이 서로 모순되지 않는다.

교사는 학생의 설명에서 “−√25는 5의 반대수 −5”라는 문장이 빠지지 않았는지 확인했다. 만약 막히면 그 문장까지만 보여 주고, 이어지는 식과 판단은 학생이 완성하도록 했다. 원래 문제의 조건은 바꾸지 않은 채 풀이 부분만 가린 뒤 다시 쓰게 하면, 학생이 답을 외워 적는지 아니면 부호의 위치를 확인하고 근거를 말하는지 구분할 수 있다.

0에서 달라지는 제곱근의 개수

같은 기준을 새 조건에 적용하기 위해 “0의 제곱근을 모두 쓰고 √0의 값을 구하라”는 문제를 제시했다. 이번에는 양수 25가 0으로 바뀐다. 학생은 먼저 제곱해서 0이 되는 수를 찾았다. 0²=0이고, −0은 0과 서로 다른 수가 아니므로 제곱근은 0 하나이다. 따라서 √0=0이다. 25에서는 5와 −5가 서로 다른 두 수였지만, 0에서는 +0과 −0이 같은 수라는 조건의 차이가 제곱근 개수를 바꾼다.

다음 문제에서는 학생이 근호 안과 밖의 부호 위치를 먼저 표시하고, 0의 제곱근이 왜 하나뿐인지 도움 없이 설명하게 한다. 교사는 답만 맞혔는지가 아니라 “제곱해서 0이 되는 수는 0이고, +0과 −0은 같은 수”라는 근거를 식과 말로 남겼는지 확인한다. 막힐 때에는 “−√25는 5의 반대수 −5로 실수다”까지만 제시하고, 이후의 판단과 검산은 학생이 직접 완성하게 한다.