두류동 중등수학과외

“근호 값의 범위를 먼저 구해야 하는 이유가 무엇일까?” 교사는 학생에게 이렇게 묻고, 종이에 √30만 적었다. 두류동중등수학과외 수업에서는 정답을 바로 말하게 하기보다, 학생이 근호가 붙은 수와 그 안의 수를 어떻게 구분하는지 계산 줄로 확인한다. 학생은 잠시 식을 바라보다가 “30을 기준으로 정수 부분을 찾으면 되는 것 같다”고 답했다. 교사는 곧바로 풀이를 대신 쓰지 않고 “√30과 30은 같은 수일까? 둘 사이에는 어떤 제곱 관계가 있을까?”라고 짧게 물었다.

√30과 30을 구분하는 첫 질문

학생이 처음 적은 답은 “정수 부분은 30.”이었다. 다만 이 한 줄만으로 학생이 제곱근의 뜻을 전혀 모른다고 단정하지는 않았다. 교사는 먼저 학생에게 “√30을 제곱하면 얼마가 되지?”라고 다시 질문했다. 학생은 √30 × √30을 적은 뒤 결과가 30이라고 말했다. 그러자 교사는 “그렇다면 √30 자체가 30일까, 아니면 제곱했을 때 30이 되는 수일까?”라고 물었다. 학생은 두 수가 같지 않다는 점은 말했지만, 정수 부분을 구하는 계산으로 연결하지는 못했다.

제곱수 사이에 √30 놓기

교사는 설명 범위를 한 단계로 제한해 “찾는 수를 제곱하면 30이므로 30 자체가 아니다”라고만 말한 뒤, 30의 위치를 제곱수 사이에서 찾도록 했다. 학생은 5와 6을 떠올려 직접 다음 줄을 작성했다.

5²=25<30<36=6²

양수 구간에서는 제곱한 수의 크기 순서가 유지되므로, 위 부등식에서 제곱근을 취하면 5<√30<6이 된다. 학생은 처음에는 피제곱수인 30을 정수 부분으로 적었지만, 수정할 때는 먼저 근호 값의 범위를 구하고 “정수 부분은 5”라고 완성했다. 교사는 학생이 단순히 답을 받아 적은 것이 아니라, 25와 36 사이에 30을 끼운 근거를 말하는지 확인했다.

같은 계산을 반복하지 않는 검산

검산에서는 방금 적은 줄을 그대로 다시 쓰게 하지 않았다. 교사는 정수 부분이 5라는 답이 범위와 맞는지 말로 확인하게 했다. 학생은 5보다 크고 6보다 작은 수의 제곱이 30이므로 √30이 5와 6 사이에 있어야 한다고 설명했다. 이어 30이 25보다 크고 36보다 작다는 조건을 대조하며, 30 자체를 답으로 쓰면 근호가 붙은 원래 수의 위치를 설명할 수 없다고 덧붙였다. 이처럼 답을 다시 계산하는 대신, 경계의 제곱과 근호 값의 범위를 연결해 확인했다.

음의 근호에서는 순서가 어떻게 바뀌는가

이제 조건을 바꿔 “−√30을 넘지 않는 가장 큰 정수”를 구하게 했다. 먼저 앞에서 얻은 범위 5<√30<6을 사용하되, 음수를 곱하거나 부호를 바꿀 때 부등호 방향이 달라지는지 학생이 직접 표시하게 했다. 학생은 −6<−√30<−5라고 적었다. 따라서 −√30보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 수는 −6이다. −5는 −√30보다 크므로 조건을 만족하지 않고, −6은 −√30보다 작으므로 조건에 맞는다. 양의 근호에서 정수 부분을 찾을 때와 달리, 이번에는 음의 방향에서 ‘넘지 않는’ 수를 골라야 한다는 점이 달라졌다.

다음 문제에서는 기존 풀이와 답을 가리고, “√30이 어느 두 연속한 정수 사이에 있는가”라는 조건만 남긴다. 학생은 도움 없이 제곱수 두 개를 먼저 정해 근호 값의 범위를 쓰고, 왜 그 범위를 구해야 하는지 한 문장으로 설명해야 한다. 이후 음의 부호가 붙은 조건에서는 부등호 방향을 표시하고 가장 큰 정수를 선택하는지, 그리고 30을 피제곱수로만 사용하고 정수 부분으로 잘못 쓰지 않는지를 교사가 계산 줄과 설명에서 확인한다.