성당동 중등수학과외

“한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 삼각형이 몇 개 생기나요?” 교사는 정팔각형 그림을 펼쳐 놓고 학생에게 먼저 물었다. 이번 성당동중등수학과외 수업에서는 계산 결과를 바로 고치기보다, 내각의 합을 구할 때 도형을 몇 개의 삼각형으로 나누어 보는지 확인하는 데 초점을 둔다. 학생은 한 꼭짓점에서 선을 여러 개 그어 보며 삼각형의 개수를 말하고, 그 수가 변의 개수와 같은지 직접 비교한다.

외각 30°에서 변의 개수를 거꾸로 찾기

교사는 먼저 볼록 정다각형의 한 외각이 30°인 문제를 제시했다. 학생은 외각의 합이 360°라는 조건을 찾아 360÷30=12라고 계산했고, 변의 개수가 12개라는 답을 적었다. 이어 한 내각은 외각과 합하여 180°가 되므로 180−30=150°라고 썼다. 교사는 “12×30은 무엇을 확인하나요?”라고 물었고, 학생은 모든 외각의 합이 되는지 확인하는 계산이라고 설명했다. 이 문제에서는 변의 개수가 주어져 각을 구하는 방향이 아니라, 외각으로부터 변의 개수를 거꾸로 찾는 방향으로 판단해야 했다.

학생이 12개의 변과 150°의 내각을 구한 뒤, 교사는 이 문제에서 사용한 기준을 다른 정다각형에도 적용할 수 있는지 물었다. 학생은 외각의 합을 먼저 정하고, 한 외각으로 나누어 변의 개수를 구한 다음 내각을 180°에서 빼는 순서를 말로 정리했다. 그러나 아직 정팔각형의 내각 합을 구할 때도 같은 기준을 정확히 사용하는지는 확인되지 않았으므로, 교사는 계산이 다른 문제에서 어떻게 달라지는지 이어서 살폈다.

정팔각형의 내각 합에서 처음 달라진 판단

비교할 문제는 “볼록 정팔각형의 한 내각과 한 외각을 각각 구하라”이다. 학생은 처음에 내각 합=8×180=1440°라고 적었다. 180°를 곱한 것 자체는 삼각형의 내각 합을 이용하려는 시도였지만, 정팔각형을 삼각형으로 나누는 수를 변의 개수와 같게 세었다는 점이 달랐다. 교사는 “한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 삼각형이 몇 개 생기나요?”라고 다시 물었다. 학생이 8개라고 답한다면 말로 알고 있는 내용과 실제 식 사이에 차이가 있는지 함께 확인할 수 있다. 이 한 오답만으로 원인을 확정하지 않고, 학생이 그림에 선을 표시하는지와 계산 줄을 어떻게 고치는지를 같이 본다.

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, 정팔각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 생기는 삼각형을 표시했다. 그리고 “팔각형은 한 꼭짓점에서 여섯 삼각형으로 나뉩니다”라는 설명까지만 제공했다. 이제 학생은 삼각형의 개수를 n−2로 나타내고, 그 수에 삼각형 한 개의 내각 합을 곱해 내각의 합을 직접 완성해야 한다. 학생은 처음의 8을 그대로 사용하지 않고, 8−2=6이라는 관계를 식에 넣어 다시 적었다.

학생이 직접 완성한 수정 풀이와 두 방식의 검산

학생은 다음과 같이 수정했다. 내각의 합=(8−2)×180=1080°. 정팔각형은 모두 같은 내각을 가지므로 한 내각=1080÷8=135°라고 구했다. 이어 한 내각과 한 외각의 합이 180°라는 관계를 사용하여 한 외각=180−135=45°라고 적었다. 처음 풀이에서는 삼각형의 수를 8개로 세었지만, 수정 풀이에서는 한 꼭짓점에서 생기는 삼각형이 6개라는 점을 반영한 것이 핵심적인 변화다.

검산은 같은 나눗셈을 반복하지 않는 방식으로 진행했다. 정팔각형의 외각은 모두 같으므로 45×8=360°가 되어 외각의 전체 회전량과 일치한다. 또 한 내각과 한 외각을 더하면 135+45=180°이다. 학생은 두 결과를 보고 1080°라는 내각 합, 135°라는 한 내각, 45°라는 한 외각이 서로 모순되지 않는다고 설명했다. 교사는 “왜 8이 아니라 8−2인가요?”라고 짧게 물었고, 학생은 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 여섯 삼각형으로 나뉘기 때문이라고 말한 뒤 식을 다시 가리지 않고 적었다.

조건을 바꾼 문제에서 기준 유지하기

마지막에는 앞의 풀이와 정답을 가린 채, 같은 원리를 다른 방향으로 적용했다. 볼록 정다각형의 한 외각이 30°일 때 변의 개수와 한 내각을 구하는 문제에서 학생은 외각 30°를 변의 수와 곱해 전체 외각의 합 360°을 만들어야 한다. 따라서 변의 개수=360÷30=12, 한 내각=180−30=150°이다. 확인할 때는 12×30=360°과 150+30=180°을 각각 대조한다.

다음에는 정팔각형 문제의 조건만 남겨 두고, 학생이 도움 없이 한 꼭짓점에서 생기는 삼각형을 n−2로 세어 내각의 합을 구하게 한다. 학생이 “팔각형은 한 꼭짓점에서 여섯 삼각형으로 나뉜다”는 이유를 먼저 말한 뒤 (8−2)×180을 직접 쓰는지, 외각의 합 360°와 내각·외각의 합 180°로 별도 검산을 남기는지를 확인한다.