본리동 중등수학과외

중2 도형의 닮음 수업에서 학생은 삼각형 ABC의 조건과 자신의 답안을 나란히 놓았다. D는 AB 위에, E는 AC 위에 있고 DE∥BC이며, AD=3cm, DB=2cm, BC=10cm인 문제였다. 학생은 풀이란에 DE=DB=2cm라고 적었다. 교사는 곧바로 정답을 말하지 않고 “이 두 선분이 정말 같은 길이라는 조건이 문제에 있나요?”라고 물었다. 본리동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 식과 문제 조건을 대조하며, 계산보다 먼저 어떤 선분을 선택했는지 확인한다.

DB와 DE는 같은 대응변인가

학생이 맞게 처리한 부분도 있었다. AD=3cm와 DB=2cm를 읽고 큰 변 AB에 놓인 두 부분을 구분한 것은 정확했다. 그러나 처음 판단이 달라진 지점은 DB를 DE와 바로 같다고 본 데 있었다. 교사는 “DB와 DE가 같은 방향의 대응변인가?”라고 짧게 물었다. 학생이 그림에서 두 선분의 위치를 가리키도록 하자, DB는 큰 삼각형의 변 AB에 남은 일부이고 DE는 작은 삼각형 ADE의 변이라는 사실이 드러났다.

이 한 번의 오답만으로 닮음 개념 전체를 모른다고 단정하지 않았다. 학생이 선분의 이름은 정확히 읽었지만 대응 역할을 기준으로 고른 것인지, 아니면 그림에서 가까워 보이는 길이를 같다고 판단한 것인지 식과 설명을 함께 확인했다. 교사는 “DB가 DE와 같다는 표시가 있나요?”라고 다시 물었다. 학생이 표시를 찾지 못하면 판단 기준을 다시 확인하고, 기준은 맞는데 수만 달라진 경우라면 계산 줄을 점검하기로 했다.

AD=3cm에서 닮음비를 세우다

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 한 단계만 보여 주었다. 먼저 AB=AD+DB=3+2=5cm를 적고, DB는 큰 변의 남은 일부이며 DE와 같은 길이라는 조건이 없다고 설명했다. 이어 DE∥BC이므로 △ADE∽△ABC이고, 대응하는 변의 비를 AD/AB=DE/BC로 놓을 수 있다고 표시했다.

그다음 줄은 학생이 직접 완성했다. 학생은 선분 이름과 대응 역할을 다시 확인한 뒤 3/5=DE/10이라고 적었다. 양변을 10배 하여 DE=6cm을 얻었다. 처음에는 DB의 길이 2cm를 DE에 그대로 옮겼지만, 수정 풀이에서는 작은 삼각형의 AD와 DE를 큰 삼각형의 AB와 BC에 대응시켰다는 점이 달라졌다.

비율과 크기로 답을 확인하기

검산은 같은 나눗셈을 반복하지 않는 방식으로 진행했다. 학생은 3/5=6/10을 확인하여 두 삼각형의 대응비가 일치하는지 살폈다. 또 DE는 큰 삼각형의 변 BC에 대응하는 내부의 작은 삼각형 변이므로, DE=6cm가 BC=10cm보다 짧다는 조건 대조도 했다. 처음 답 2cm는 DB와 같다는 근거가 없었고, 수정한 6cm는 비율과 도형의 크기 관계를 모두 만족한다.

남은 부분 DB를 구하는 새 조건

이제 조건을 바꾼 문제를 제시했다. 삼각형 ABC에서 DE∥BC이고, DE=6cm, BC=10cm, AB=15cm일 때 DB를 구하는 문제다. 이번에는 닮음으로 직접 구해지는 AD가 아니라 큰 변에서 남은 부분인 DB를 묻는다. 학생은 먼저 대응비를 스스로 골라 AD/AB=DE/BC=6/10=3/5라고 적고, AD=15×3/5=9cm를 계산해야 한다. 그 뒤 전체 변에서 구한 부분을 빼서 DB=15−9=6cm을 얻는다. 마지막으로 AD:AB=9:15=6:10인지 확인한다. 다음 시간에는 대표 문제의 오답과 수정 풀이를 가린 채 같은 조건을 다시 제시하고, 학생이 DB와 DE를 구별해 대응변을 스스로 표시하는지, 새 문제에서도 전체를 먼저 구한 뒤 남은 부분을 빼는 식을 남기는지 확인한다.