진천동 중등수학과외

두 자리 순환마디에서 먼저 고른 100배

수업은 소수 0.272727…에서 27이 끝없이 반복되는 문제로 시작한다. 학생은 이 수를 x라고 놓고 순환마디가 두 자리라는 점에 주목해 소수점을 오른쪽으로 두 자리 옮긴 100x=27.272727…을 적는다. 이어 원래 식을 빼면 반복되는 꼬리가 사라진다는 생각으로 100x−x=27을 만든다. 따라서 99x=27이고, 양변을 99로 나누고 약분하여 x=27/99=3/11을 얻는다. 3과 11의 공약수가 없으므로 기약분수 조건도 충족한다.

이때 진천동중등수학과외 수업에서는 정답만 확인하지 않고, 왜 10배가 아니라 100배인지 학생에게 설명하게 한다. 학생은 “반복되는 숫자 27이 한 번 이동한 뒤에도 같은 위치에 오려면 두 칸을 옮겨야 한다”고 말한다. 교사는 3÷11을 계산해 0.272727…이 복원되는지 확인하게 한다. 본풀이에서 100을 곱했지만 검산에서는 분수의 나눗셈 결과와 순환마디 두 자리의 반복을 대조한다.

한 자리 순환마디에서 생긴 계수 착각

이제 비교할 대표 문제는 x=0.777…이며 7이 끝없이 반복된다는 조건이다. 학생은 처음에 10x−x=10x라고 적고 x=7/10이라고 답했다. 소수점을 한 자리 옮겨 10x를 만든 부분은 문제 조건에 맞았지만, 양변의 문자 계수를 뺄 때 처음 판단이 달라졌다. 오답 하나만으로 개념 전체를 모른다고 단정하지 않기 위해 교사는 계산 전에 짧게 묻는다. “10개의 x에서 한 개를 빼면 몇 개가 남지?”

학생은 말로는 “아홉 개”라고 답하지만 종이에 다시 10x−x=10x를 쓰면, 말한 기준과 기록한 계산이 일치하는지 대조한다. 이 둘이 다르면 단순히 계수를 옮겨 쓰는 과정에서 생긴 것인지, 뺄셈의 의미를 다르게 적용한 것인지 나누어 확인할 수 있다. 교사는 풀이 전체를 대신하지 않고 10x−x=9x라는 한 단계만 보여 준다. 이어 학생이 소수 부분과 문자 계수의 뺄셈을 함께 적도록 한다.

학생이 직접 고친 식과 반복되는 나머지

학생은 10x=7.777…과 원래 식 x=0.777…을 나란히 쓴 뒤, 반복되는 소수 부분을 빼서 10x−x=7.777…−0.777…=7이라고 정리한다. 문자 계수의 차이는 10−1=9이므로 9x=7, 따라서 x=7/9이다. 처음 풀이와 달라진 부분은 10x를 그대로 남긴 것이 아니라, x 한 개를 빼고 남은 계수 9를 사용했다는 점이다.

검산은 같은 식을 다시 반복하지 않고 나눗셈으로 진행한다. 7을 9로 나누면 정수 부분은 0이고 나머지는 7이다. 소수 첫째 자리를 구할 때 70을 9로 나누면 몫은 7, 나머지는 7이 된다. 이후에도 나머지에 10을 곱한 70을 9로 나누므로 같은 과정이 반복된다. 따라서 7÷9=0.777…이고, 분수의 값이 문제의 순환소수와 일치한다. 이 확인은 7/10처럼 유한소수가 되는 답이 원래 조건과 맞지 않음을 함께 보여 준다.

다시 두 자리 조건으로 돌아가는 적용

처음 문제의 조건으로 돌아가면 순환마디가 한 자리에서 두 자리로 바뀌었기 때문에 곱하는 수도 달라진다. 0.272727…에서는 27이 반복되므로 100배를 선택하고, 100x−x=27에서 99x=27, x=3/11을 얻는다. 반면 0.777…에서는 한 자리만 옮기면 꼬리가 맞으므로 10배를 사용한다. 공통 원리는 반복되는 소수 부분을 같은 위치에 맞춘 뒤 빼는 것이며, 달라지는 조건은 순환마디의 길이이다.

다음 확인에서는 기존 풀이와 정답을 가린 채 대표 문제 x=0.777…을 다시 제시한다. 학생은 풀이를 시작할 때 소수 부분과 문자 계수의 뺄셈을 함께 쓰고, 교사가 필요한 경우 “10x−x=9x”만 확인해 준 뒤 나머지를 직접 이어 간다. 이후 계산 결과가 원래 조건과 맞는지 설명하고, 마지막에는 7÷9에서 나머지 7이 반복되어 0.777…가 되는 근거까지 남기는지를 확인한다.