유천동 중등수학과외

둘레 24cm와 40cm에서 먼저 찾아야 할 비

수업은 “닮은 두 도형의 둘레가 24cm와 40cm이다. 작은 도형의 한 변이 9cm라면 대응하는 큰 도형의 변을 구하라.”는 문제로 시작한다. 학생은 40−24를 먼저 계산해 둘레의 차이가 16cm라는 점에 주목했지만, 아직 9cm에 어떤 배율을 적용해야 하는지는 적지 않았다. 교사는 “두 둘레의 비를 먼저 만들면 어떻게 되지?”라고 묻고, 학생이 24:40=3:5를 직접 정리하도록 기다린다.

이때 유천동중등수학과외 수업에서는 정답을 바로 말하지 않고, 학생이 둘레의 차와 둘레의 비를 구분하는지 확인한다. 24cm와 40cm의 차는 두 도형 사이의 간격을 나타내는 값일 뿐, 대응하는 모든 길이에 곱할 배율은 아니다. 학생은 24와 40을 각각 8로 나누어 3:5를 만들고, 작은 도형에서 큰 도형으로 갈 때 길이가 5/3배가 된다고 말한다.

닮음비의 숫자를 실제 길이 차로 읽은 순간

비교할 대표 문제는 “닮은 두 다각형 A, B의 닮음비가 A:B=3:5이고 A의 둘레는 24cm이다. B의 둘레를 구하라.”이다. 학생은 처음에 B 둘레=24+(5−3)=26cm이라고 적었다. 24cm라는 주어진 둘레를 사용한 점은 맞지만, 3과 5를 실제 길이의 단위처럼 다루어 차이 2를 더한 것이 처음 달라진 판단이다.

교사는 짧게 “닮음비 3:5의 단위가 cm일까?”라고 묻는다. 학생이 “cm가 아니라 두 도형의 대응하는 길이를 비교한 수”라고 답하는지 확인한 뒤, 말로 한 설명과 종이에 적은 계산이 같은지 대조한다. 설명은 비례 배율이라고 하면서 계산에는 5−3을 썼다면, 개념 설명과 식을 옮기는 과정이 어디에서 달라졌는지도 따로 확인한다. 오답 하나만 보고 원인을 단정하지 않고, 학생이 비의 의미를 말하는 방식과 실제로 쓰는 기호를 함께 살핀다.

24를 3부분으로 나누어 5부분을 만드는 수정

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 “24가 3부분에 해당한다면 1부분은 얼마이고, 5부분은 얼마일까?”라고 질문한다. 비의 두 수는 실제 길이의 차가 아니라 비례 배율이라는 설명만 제공한 뒤, 학생이 다음 계산을 직접 이어 간다.

24÷3=8이므로 닮음비의 1부분은 8cm이다. 큰 다각형의 둘레는 5부분이므로 8×5=40cm이다. 학생은 이를 한 번 더 비례식으로 정리하여 24×5/3=40cm이라고 적는다. 처음 풀이에서는 5−3을 더했지만, 수정 풀이에서는 24를 작은 도형에 해당하는 3으로 나눈 다음 큰 도형의 5를 곱했다는 차이가 분명해진다.

검산은 같은 덧셈을 반복하지 않도록 비의 관계로 진행한다. 24:40=3:5이므로 주어진 닮음비와 일치한다. 또 모든 대응변이 5/3배라면 대응변들의 합인 둘레도 5/3배가 되어 24×5/3=40이 된다. 학생은 “둘레 하나만 커지는 것이 아니라 모든 대응길이에 같은 비가 적용되기 때문에 둘레에도 같은 비가 적용된다”고 설명한다.

둘레비를 이용해 대응변을 찾는 적용

처음의 적용 문제로 돌아오면 닮음비를 직접 제시하지 않았다는 점이 대표 문제와 다르다. 대신 둘레 24cm와 40cm에서 24:40=3:5를 복원해야 한다. 작은 도형의 한 변 9cm에 큰 도형의 배율 5/3을 적용하여 9×5/3=15cm를 얻는다. 검산으로 9:15=3:5이고, 이 비가 24:40과 같으므로 대응변의 길이도 조건에 맞는다.

다음 수업에서는 같은 둘레 24cm와 40cm 조건에서 닮음비와 풀이를 미리 보여 주지 않은 채, 학생이 먼저 24를 3부분으로 나누어 5부분을 구하는지 확인한다. 이어서 작은 도형의 한 변 9cm를 5/3배하여 15cm를 적고, 계산 뒤에 “왜 둘레의 비를 변의 비로 사용할 수 있는가?”를 말하게 한다. 교사는 학생이 차이 16cm를 더하지 않고 둘레비를 복원했는지, 마지막에 9:15=24:40을 대조 근거로 남겼는지를 확인한다.