대곡동 중등수학과외

“6²=10²+h²”가 조건을 만족하는지 확인하기

학생은 길이 10m인 사다리가 수직인 벽에 기대어 있고, 사다리 밑부분이 벽에서 수평으로 6m 떨어져 있다는 문제를 읽은 뒤 식을 6²=10²+h²로 적었다. 대곡동중등수학과외 수업에서는 곧바로 정답을 알려 주지 않고, 문제의 조건과 학생의 답안을 나란히 놓고 식이 실제 모양과 맞는지 묻는다. 학생이 6m를 바닥 거리로 읽은 점은 맞지만, 그 선분을 직각삼각형의 어느 변으로 배치했는지가 처음 달라진 판단이다.

교사는 먼저 “직각의 맞은편 선분이 사다리일까, 바닥일까?”라고 짧게 질문한다. 학생이 바닥 거리를 빗변이라고 말한다면, 왜 그렇게 판단했는지 모형의 벽과 바닥이 만나는 지점을 손가락으로 표시하게 한다. 반대로 기준을 고르지 못하면 계산 실수로 단정하지 않고, 벽과 바닥이 만나는 곳이 직각이라는 사실부터 다시 확인한다. 기준은 맞는데 식만 달라졌다면 그때는 등식의 양변을 어떻게 옮겼는지 한 줄씩 살핀다.

벽과 바닥의 직각에서 빗변 정하기

교사는 벽과 바닥이 만나는 모형의 모서리를 직각으로 표시하고, 그 맞은편에 놓인 사다리를 따라 선을 그어 준다. “직각의 맞은편은 어느 선분이지?”라는 질문에 학생이 사다리를 가리키면, 사다리 길이 10m가 빗변이라는 관계를 식에 반영한다. 설명은 여기서 멈추고 다음 식은 학생이 직접 완성하게 한다. 학생은 높이를 h>0으로 두고, 벽과 바닥이 직각이므로 두 직각변의 제곱 합이 빗변의 제곱이 된다는 점을 적는다.

학생이 고쳐 쓴 풀이에는 다음 과정이 이어진다. h²+6²=10²이므로 h²+36=100, 따라서 h²=64이다. 높이는 길이이므로 음수가 될 수 없고, h=8m로 정리한다. 처음 식에서는 바닥 거리 6m를 빗변처럼 배치했지만, 수정한 식에서는 직각의 맞은편인 사다리 10m를 빗변으로 두고 높이와 바닥 거리를 두 직각변으로 배치했다는 점이 달라졌다. 교사는 학생에게 “10은 왜 오른쪽에 있어?”라고 다시 묻고, 학생이 사다리가 직각의 맞은편이기 때문이라고 설명하는지 확인한다.

역관계로 바꾼 새 사다리 문제

풀이를 마친 뒤에는 같은 계산을 그대로 반복하지 않고 조건 대조로 답을 확인한다. 학생은 6²+8²=36+64=100=10²이라고 적어 두 변의 제곱 합이 사다리 길이의 제곱과 일치하는지 확인한다. 또한 높이 8m가 사다리 전체 길이 10m보다 작다는 조건도 말한다. 이 검산은 처음 식을 다시 옮겨 적는 것이 아니라, 완성한 높이를 원래 직각삼각형의 관계에 대입하고 길이의 범위까지 대조하는 방식이다.

새 문제에서는 길이 10m인 사다리의 위쪽 끝이 벽의 높이 6m에 닿을 때, 사다리 밑부분과 벽 사이의 거리 d를 구한다. 이번에는 바닥 거리를 주고 높이를 구하던 방향을 바꾸어, 높이를 주고 바닥 거리를 찾는다. 학생은 먼저 모형의 직각 위치에서 사다리가 빗변임을 스스로 정한 뒤 d>0으로 두고 d²+6²=10², d²=100-36=64, d=8m이라고 적어야 한다. 마지막에는 6²+8²=10²을 확인하며 새 조건에서도 같은 피타고라스 관계를 사용했음을 설명한다. 다음에 대표 문제를 다시 제시할 때는 풀이와 답을 가린 상태에서 학생이 직각의 위치와 빗변을 먼저 표시하는지, 막힐 경우에도 “직각은 벽과 바닥이 만나고 사다리는 그 맞은편”이라는 한 관계만 듣고 다음 식을 스스로 결정하는지 확인한다.