칠전동 고등수학과외

θ=7π/6일 때 tanθ를 구하는 문제에서 두 판단이 갈릴 수 있다. 아래쪽에 동경이 놓였다는 이유만 보고 tanθ=−1/√3이라고 답했다면, 계산 속도보다 먼저 빠진 조건을 찾아야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 답의 모양만 고치지 않고 각의 단위, 동경의 위치, 사인과 코사인의 부호를 차례로 확인한다. 같은 오답이라도 호도법을 도 단위와 혼동했는지, 직각삼각형에서 얻은 양의 비를 모든 각에 그대로 적용했는지에 따라 고치는 방법이 달라지기 때문이다.

7π/6의 위치와 두 좌표를 먼저 표시하기

먼저 180°=π라디안이므로 7π/6은 210°이다. 따라서 동경은 제3사분면에 놓이고 기준각은 π/6이다. 여기서 “제3사분면에서 sinθ와 cosθ의 부호는 각각?”이라고 묻는다. 학생이 둘 다 음수라고 답하는지, 아래쪽이라는 말만 기억해 사인만 음수라고 생각하는지 확인한다. 단위원에서 각 θ의 점은 (cosθ,sinθ)이므로 좌표의 첫째 성분과 둘째 성분을 구별해 표시해야 한다. 제3사분면에서는 sinθ=−1/2, cosθ=−√3/2가 나란히 놓인다. 각의 숫자만 읽지 말고, 단위를 붙인 뒤 동경이 어느 사분면에 있는지 함께 그리는 것이 핵심이다.

음수끼리 나누는 이유를 학생의 식으로 완성하기

탄젠트의 정의 tanθ=sinθ/cosθ를 사용하면 tanθ=(−1/2)/(−√3/2)이다. 분자와 분모가 모두 음수이므로 결과는 양수이고, 약분하면 1/√3=√3/3이다. “아래쪽이라서 음수”라는 판단은 사인과 코사인의 부호를 한꺼번에 반영하지 못한 것이다. 교사는 단위원 좌표와 정의를 제시하되, 그 다음 식과 결론은 학생이 직접 쓰게 한다. 학생이 sinθ와 cosθ의 부호를 표시하고 분수의 부호를 대조했다면, 제3사분면에서 탄젠트가 양수라는 근거가 풀이 안에 남는다. 또한 탄젠트의 주기가 π이므로 tan(7π/6)=tan(π/6)이라는 방법으로도 같은 값을 확인할 수 있다. 이는 답을 외우는 근거가 아니라, 주기와 기준각을 연결하는 검산이다.

표현이 바뀌어도 사분면 조건을 다시 대조하기

이제 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 θ=2π/3일 때 sinθ와 cosθ를 구한다. 기준각은 π/3이고 제2사분면의 좌표 부호는 (−,+)이므로, (cosθ,sinθ)의 순서를 먼저 적으면 cosθ=−1/2, sinθ=√3/2이다. 따라서 요구한 순서로는 sinθ=√3/2, cosθ=−1/2이다. 두 값의 제곱합은 3/4+1/4=1이어서 단위원 조건과 맞고, 제2사분면의 부호와도 일치한다. 이때 각의 숫자만 달라진 경우와 사분면 또는 구하는 함수가 실제로 달라진 경우를 구분해야 한다. 처음 단계인 기준각, 좌표 부호, 함수의 정의를 직접 작성하게 한 뒤, 제3사분면의 탄젠트 부호를 판단하는 식과 이유를 지우지 않고 다시 설명하게 한다. 이어 두 번째 문제에서는 사인과 코사인의 순서가 바뀌어도 좌표의 성분을 혼동하지 않는지 확인한다. 풀이·정답·유도 표시를 가린 독립 재적용에서 조건을 남기고 계산했다면, 다음에는 각도 변환과 사분면 표시를 한 줄씩 먼저 적는 습관으로 이어간다.