범물동 초등수학과외

뒤쪽 큐브가 보이지 않을 때 무엇을 세어야 할까요?

이 글은 초등수학 수업에서 활용할 수 있는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 한 변이 1cm인 정육면체 큐브를 가로 3개, 세로 2개, 높이 2개가 되도록 빈틈없이 쌓았습니다. 앞에서 보면 뒤쪽 큐브 일부가 가려져 모두 보이지 않을 수 있습니다. 이때 “눈에 보이는 큐브만 세면 된다”라고 생각할 수도 있지만, 문제의 모양은 빈틈없이 채운 직육면체입니다. 보이지 않는 부분에도 같은 크기의 큐브가 이어져 있다는 조건이 있으므로, 앞에서 보이는 개수만으로 전체 부피를 정하지 않습니다.

먼저 교사는 한 변이 1cm인 큐브 하나를 아이에게 보여 주며 이 큐브의 부피가 1cm³임을 확인합니다. 이어서 모형을 한 층씩 떼어 볼 수 있도록 준비합니다. 한 층은 가로 3개와 세로 2개가 만나는 배열이므로 큐브가 3×2, 즉 6개입니다. 높이가 2개이므로 같은 6개짜리 층이 두 겹 놓입니다. 이때 큐브에 붙은 위치나 앞뒤의 보이는 정도는 식별에 도움을 줄 뿐, 전체 개수를 바꾸는 조건은 아닙니다. 빈 공간 없이 채워졌는지와 층이 몇 개 반복되는지를 함께 살펴야 합니다.

층을 떼어 보며 수와 부피를 연결하기

아이가 뒤쪽 큐브를 포함하지 않고 보이는 큐브만 세려 한다면, 교사는 먼저 한 층을 실제로 분리해 앞뒤를 함께 확인하게 할 수 있습니다. 한 층을 떼어 바닥에 놓고 아이가 큐브를 하나씩 짚으며 “하나, 둘, 셋…” 하고 세도록 합니다. 마지막으로 센 수 6은 보이는 면의 개수가 아니라 그 층을 이루는 큐브 전체의 개수입니다. 그다음 같은 층을 하나 더 포개면 높이 방향으로 2층이 되었음을 확인할 수 있습니다.

아이가 말로 “왜 뒤쪽도 세나요?”를 길게 설명하지 못해도 괜찮습니다. 교사가 가려진 부분을 짚고 한 층을 옮겨 보인 뒤, 아이가 두 층을 직접 분리하고 다시 포개게 합니다. 아이가 각 층의 큐브 6개를 확인하고 층 수 2를 가리킨다면, 한 층 6개씩 두 층이라는 관계를 행동으로 나타낸 것입니다. 따라서 전체 큐브 수는 6×2=12개이고, 큐브 하나의 부피가 1cm³이므로 모형의 부피는 12cm³입니다. 식 3×2×2=12도 가로·세로로 이루어진 한 층과 높이 방향의 층 수를 같은 양으로 나타냅니다.

이 과정에서 “보이지 않는 큐브는 세지 않는다”라는 설명이 나왔다면, 그것이 단순히 그림의 일부만 본 것인지, 빈틈없이 채운 직육면체라는 조건을 놓친 것인지 바로 단정하지 않습니다. 교사는 1층을 분리했을 때 뒤쪽 큐브까지 찾아내는지, 가로 3개와 세로 2개를 다시 배열하는지 확인합니다. 아이가 큐브를 옮기거나 층을 그려서 뒤쪽을 표시하면, 말보다 자료를 이용해 조건을 이해한 근거가 될 수 있습니다.

해설을 가리고 처음부터 다시 놓아 보기

교사의 시범 뒤에는 문제와 한 변 1cm인 큐브 자료는 그대로 두고, 해설과 정답만 가린 상태에서 아이가 다시 해결하도록 합니다. 이미 12를 나타내도록 완성된 모형을 그대로 보여 주면 교환이나 세기 과정을 확인하기 어려우므로, 아이가 가로 3개, 세로 2개인 한 층을 만들고 그 층을 두 개 쌓도록 합니다. 아이는 한 층의 큐브를 6개 세고, 같은 층이 두 번 반복되는지 확인한 뒤 6×2=12를 적습니다.

이때 교사는 “뒤쪽 큐브가 보이지 않아도 포함할 근거는 무엇일까?”라고 묻고, 필요하면 빈틈없이 채워진 모형의 옆면을 짚습니다. 아이가 뒤쪽 큐브를 손으로 가리키거나 층을 들어 올려 보여 주고, 한 층 6개와 두 층을 연결한다면 답만 기억한 것이 아니라 자료와 식을 연결해 다시 풀고 있는지 확인할 수 있습니다. 부피의 단위도 큐브 하나의 부피 단위인 cm³로 적었는지 함께 살핍니다.

새로운 층 수로 적용해 보기

이어서 한 변이 1cm인 큐브를 한 층 5개×2개씩 만들고, 같은 층을 3층 쌓는 새 문제를 제시합니다. 기본 문제와 달라진 것은 가로 개수와 높이이며, 각 층이 같은 모양으로 반복되고 빈틈없이 채워진다는 관계는 같습니다. 아이가 먼저 한 층의 큐브를 5×2=10개로 세고, 그 층이 3개임을 자료에서 확인하면 전체는 10×3=30개입니다. 따라서 부피는 30cm³이고, 식으로는 5×2×3=30cm³라고 나타냅니다.

마지막으로 가로 3개, 세로 2개인 층을 두 층에서 세 층으로 늘린 경우도 비교할 수 있습니다. 한 층 6개가 추가되므로 부피는 12cm³에서 18cm³로 6cm³ 늘어납니다. 다음 활동에서는 아이가 숫자만 말하는지, 새 자료에서 한 층의 개수와 층 수를 직접 세고 보이지 않는 큐브가 포함되는 이유를 가리키거나 그려서 보여 주는지 확인합니다.