범물동 고등수학과외

“크기는 같아도 방향이 반대이면 어떻게 더할까?”

기하에서 벡터의 연산과 위치벡터를 다룰 때는 “크기는 같아도 방향이 반대이면 성분은 어떻게 더해지는가?”라는 질문으로 시작할 수 있다. 예를 들어 a=(2,0), b=(−2,0)일 때 a+b와 |a+b|를 구하는 상황이다. 이렇게 답했다면 먼저 “두 벡터의 크기가 각각 2이므로 2+2=4이고, 합은 (4,0)이다”라고 쓸 수 있다. 그러나 크기만 더한 값과 벡터의 성분을 더한 결과는 같은 의미가 아니다. 특히 이 문제에서는 두 화살표가 같은 직선 위에서 서로 반대 방향을 가리킨다는 조건을 놓치지 않아야 한다.

성분 계산과 화살표의 방향을 대조하기

오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, “x성분은 각각 얼마인가?”, “두 화살표를 같은 기준에서 비교하면 어느 쪽으로 향하는가?”라고 확인한다. 학생은 처음 쓴 식과 답을 나란히 놓고, 2+2로 계산한 부분이 크기의 덧셈인지 x성분의 덧셈인지 직접 표시해 본다. 또 화살표의 시작점과 끝점을 혼동했는지, 크기와 방향을 함께 갖는 벡터를 길이 하나로만 보았는지 점검한다. 벡터는 크기와 방향을 함께 가지며 평행이동해도 같은 벡터다. 따라서 이 경우에는 x성분을 2+(−2)로 계산해야 하고 y성분은 0+0이다. 위치벡터의 차를 이용할 때도 끝점에서 시작점의 성분을 빼 두 점 사이의 방향을 만든다는 기준을 유지한다. 교사는 성분을 적는 순서와 비교 기준을 보여 주되, 실제 계산과 답의 선택은 학생이 하게 한다.

수정 풀이를 직접 쓰고 조건을 바꾸어 점검하기

학생이 다시 a+b=(0,0), |a+b|=0이라고 쓰면, 합벡터가 영벡터라는 점까지 확인한다. 두 화살표를 이어 붙였을 때 처음 출발한 점으로 돌아오므로 이동이 남지 않는다는 방식으로 검산할 수 있다. 여기서 반지름처럼 길이를 제곱해 쓰는 식과 달리, 벡터의 크기는 합벡터를 먼저 구한 뒤 그 길이를 계산해야 한다. 반대 방향에서는 크기를 단순히 더하지 않는다.

이제 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시를 가린 상태에서 다시 시작한다. a=(1,0), b=(0,1)일 때 |a+b|를 묻는다면 먼저 a+b=(1,1)을 세우고, |a+b|=√(1²+1²)=√2로 계산한다. 두 단위벡터가 수직이므로 합은 직각삼각형의 대각선이고 길이가 √2라는 부분 검산도 가능하다. 이는 앞 문제와 표현만 바꾼 것이 아니라 방향 조건이 실제로 달라진 경우다. 마지막으로 “원하는 화살표의 시작점과 끝점을 먼저 적었는가?”, “성분을 더한 뒤 크기를 구했는가?”를 묻고, 외운 영벡터 답이 아니라 달라진 조건에 맞춰 식을 세웠는지 확인한다.