진북동 고등수학과외

식 전체의 부호와 등호부터 확인하기

이번에는 실수 x에 대해 −(x−1)(x−3)≥0을 풀어 보며, 익숙한 문제의 답을 기억해서 쓰는지 조건을 읽고 다시 판단하는지 살펴본다. 먼저 식 전체에 음수 부호가 붙었고 부등호에 등호가 포함되었다는 점을 표시한다. −(x−1)(x−3)≥0은 (x−1)(x−3)≤0과 같으므로, 근 사이의 부호를 기준으로 하되 양 끝점을 포함해야 한다. 이 조건을 놓치면 1<x<3처럼 등호를 빠뜨리거나 바깥 구간을 고르는 오류가 생길 수 있다.

배움노트 고등수학 수업에서는 곧바로 답을 알려 주기보다, 달라진 조건을 기본 원리와 연결해 학생이 결론을 다시 만들게 한다. 우선 두 인수가 0이 되는 경계가 1과 3임을 찾고, 수직선에 두 점을 표시한다. 그다음 기본 문제였던 (x−1)(x−3)<0으로 돌아가 세 구간의 곱 부호가 어떻게 달라지는지 기준을 세운다.

두 근 사이의 부호로 기본 판단 세우기

실수 x에 대해 (x−1)(x−3)<0을 푼다고 하자. 이렇게 답했다면 “x<1 또는 x>3”이라고 쓸 수 있지만, 그 결론을 바로 틀렸다고 고치지 않는다. 먼저 x=2일 때 두 인수의 부호와 곱을 직접 계산하게 한다. x−1은 양수, x−3은 음수이므로 곱은 음수이다. 따라서 두 근 사이가 조건을 만족할 가능성을 확인할 수 있다.

이후 학생이 1보다 작은 구간, 1과 3 사이, 3보다 큰 구간을 나누어 각 인수의 부호를 표시하게 한다. 곱의 부호는 차례로 +, −, +가 된다. 부등식의 좌변과 우변을 변형할 때는 대소 관계가 유지되는지 확인해야 하며, 부호가 정해지지 않은 식에 단순한 규칙을 적용해서는 안 된다. 학생이 1<x<3을 직접 적은 뒤, 끝점에서는 곱이 0이 되어 엄격한 부등식에 포함되지 않음을 설명하게 한다. 부호표로 세 구간 전체를 판정하면 답은 1<x<3이다.

바뀐 조건을 독립적으로 다시 풀고 대조하기

이제 풀이와 정답을 가린 상태에서 −(x−1)(x−3)≥0이라는 식과 조건만 남겨 두고 처음부터 해결한다. 먼저 −(x−1)(x−3)≥0을 (x−1)(x−3)≤0으로 고친다. 기본 문제에서 곱이 음수였던 구간은 1과 3 사이였고, 이번에는 등호가 포함되므로 경계까지 포함한다. 따라서 1≤x≤3, 즉 해집합은 [1,3]이다.

검산할 때는 x=1과 x=3에서 원식의 값이 0이므로 등호 조건을 만족하는지 확인한다. x=2에서는 (x−1)(x−3)이 음수이고 앞의 음수 부호가 이를 양수로 바꾸므로 원식은 0 이상이다. 반대로 x=0이나 x=4에서는 괄호의 곱이 양수여서 원식이 음수가 된다. 이처럼 일부 수치 대입은 구간 판정의 확인으로만 사용하고, 전체 결론은 세 구간의 부호표로 뒷받침한다.

마지막으로 학생은 처음 오답에서 바꾸어야 할 결론을 식으로 표시한다. 부호표가 불안정하다면 각 인수가 양수·음수가 되는 구간을 먼저 따로 그린다. 같은 근을 유지한 채 표현만 바꾼 것인지, 음수 부호와 등호 포함처럼 실제 조건이 바뀐 것인지 구별하면서 풀이·정답·유도 표시 없이 다시 적용하면, 답을 외운 것이 아니라 조건에 따라 해집합을 재구성했는지 확인할 수 있다.