산격동 고등수학과외

답의 모양이 아니라 밑을 먼저 확인하기

미적분Ⅱ에서 다른 밑의 지수함수를 다룰 때는 계산 결과가 익숙하게 보인다는 이유만으로 넘어가면 안 된다. 실수 x에서 f(x)=2ˣ의 도함수를 구하는 문제를 보자. 이렇게 답했다면 f′(x)=2ˣ이라고 적은 셈이다. eˣ의 도함수가 eˣ이라는 사실을 2ˣ에도 그대로 옮긴 오답이다. 이때 배움노트 고등수학 수업에서는 답만 고치기보다 어느 조건이 빠졌는지 먼저 확인한다. 2ˣ에서 밑은 2이고 지수는 x이므로, 문자 x가 밑인지 지수인지부터 표시하게 한다.

두 표현을 바꾸어 빠진 계수 확인하기

원인을 하나의 오답만으로 확정하지 않기 위해 확인 질문을 던진다. 2ˣ=e^(x ln2)로 바꾸었을 때 안쪽 일차식 x ln2의 기울기는 얼마인지, ln의 정의역과 밑의 조건은 무엇인지 학생이 직접 말하고 적게 한다. 일반적으로 eˣ의 도함수는 eˣ이고, a>0인 상수 a에 대해 aˣ의 도함수는 aˣ ln a이다. 이는 2ˣ=e^(x ln2)로 바꾼 뒤 합성함수 미분을 적용하면 확인할 수 있다. ln x는 x>0에서 도함수가 1/x이지만, 여기서는 ln2가 상수이므로 안쪽 미분에서 ln2가 남는다. 교사는 e^(x ln2)를 적어 주고, 그 다음 미분 단계와 결론은 학생이 완성하게 한다. 밑이 양수라는 조건을 놓치면 로그 표현 자체가 성립하지 않으므로 정의역과 조건도 함께 표시한다.

수정 풀이를 다른 조건에 다시 적용하기

학생이 직접 f′(x)=2ˣ ln2를 완성했다면 원래 식과 변환한 식을 다시 대조한다. ln2>0이므로 2ˣ의 도함수도 모든 실수 x에서 양수이고, 함수가 증가한다는 그래프의 성질과 부호가 맞는다. 단순히 x=0을 대입하는 것은 부분 확인일 뿐이며, 전체 구간의 성질은 ln2>0이라는 일반적인 근거로 설명한다. 이어서 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시를 가린 상태에서 f(x)=eˣ의 도함수를 다시 시작한다. 차분몫을 [e^(x+h)−eˣ]/h=eˣ(eʰ−1)/h로 정리하고, 기본 극한 (eʰ−1)/h의 값이 1임을 이용하면 f′(x)=eˣ가 된다. x=0에서 미분계수가 1이라는 부분 검산으로도 확인할 수 있으며, eˣ에 0을 곱하는 식은 맞지 않는다. 마지막에는 수정 전후의 단계를 섞어 놓고, e를 밑으로 한 경우와 다른 양수 a를 밑으로 한 경우에 ln a가 필요한 단계를 골라 순서를 복원하게 한다. 표현만 바뀐 문제와 실제 밑이 바뀐 문제를 구별하고, 다른 조건에서도 같은 이유를 설명하는지 확인한다. 원래 지수함수의 정의역인 모든 실수를 끝까지 유지하는 것도 함께 점검한다.