복현동 고등수학과외

“f′(x)=6x−5+7”이라고 답했다면

다항함수의 미분법을 연습하던 중 예시 답안의 “f′(x)=6x−5+7.”이라는 한 줄을 보였다고 하자. 문제는 f(x)=3x²−5x+7의 도함수를 구하는 것이다. 3x²는 6x가 되고 −5x는 −5가 되지만, 마지막 상수항 7까지 그대로 남겨 f′(x)=6x−5+7이라고 적었다면 곧바로 공식 암기 부족이라고 단정하지 않는다. 지수를 내리는 규칙을 놓친 것인지, 항별로 읽어야 할 식을 하나의 덩어리로 처리한 것인지 먼저 구분할 필요가 있다.

상수항의 변화량을 직접 묻고 식의 구조를 나누기

먼저 “입력이 변할 때 상수 7의 변화량은 얼마인가?”라고 묻는다. 학생은 f(x+h)−f(x)를 직접 적어 보면서 상수 부분이 7−7로 사라지는지 표시한다. 상수함수의 차분몫은 (7−7)/h=0이므로, x가 바뀌어도 값이 변하지 않는 항의 도함수는 0이다. 여기서 교사는 남은 계산을 대신하지 않고, 첫 비교까지만 제시한다. 예를 들어 3x²−5x+7을 항별로 나누어 (3x²)′, (−5x)′, (7)′의 자리를 만들게 한다.

계수와 거듭제곱도 식의 구조에 맞게 읽어야 한다. (3x²)′=3·2x=6x이고 (−5x)′=−5이며, (7)′=0이다. 곱의 미분법을 무조건 적용하는 것이 아니라 상수 계수와 함수가 곱해진 형태인지 살핀다. 복잡하지 않은 다항식이라면 전개한 뒤 항별 미분을 하여 같은 결과가 나오는지 대조할 수 있다. 다만 설명을 들은 뒤에는 학생이 직접 식을 완성해야 한다. 학생의 수정 풀이는 f′(x)=6x−5가 된다.

가린 풀이로 다시 적용하고 다음 지점을 확인하기

정답 6x−5가 맞는지는 f(x+h)−f(x)를 적어 상수항 7이 정확히 소거되는지 확인한다. 이는 특정 수치를 넣은 부분 검산이 아니라, 같은 상수항이 서로 빼지므로 항상 0이 된다는 일반적인 근거다. 이후 문제와 필요한 수치는 그대로 남기고 풀이와 정답만 가린 상태에서 f(x)=2x³의 도함수를 다시 시작한다. 학생은 다항식의 각 항을 미분하는 방법을 유지하되, 상수항과 계수가 붙은 거듭제곱항을 구별해야 한다.

학생이 먼저 상수 2는 계수로 남고 (x³)′=3x²라고 적는지 본다. 이어 f′(x)=2·3x²=6x²를 스스로 완성하면 된다. 차분몫으로는 2(3x²+3xh+h²)의 h→0 극한이 6x²가 되는지 대조할 수 있다. 이 과정에서 상수항을 지우는 것과 계수를 그대로 두는 것을 혼동하지 않는지 확인한다. 다시 불안정한 모습이 보이면 같은 문제의 숫자만 바꾸기보다, 전개한 식에서 각 항의 변화량을 표시하게 하여 항별 미분과 동일한 도함수를 얻는지 점검한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 한 번의 오답보다 학생이 상수항의 변화량을 말하고, 직접 계산하고, 두 풀이를 대조해 같은 결론에 도달하는지를 다음 학습의 기준으로 삼는다.