읍내동 고등수학과외

조건이 달라진 정수 범위부터 표시하기

이번에는 정수 x에 대해 −2<x≤3/2를 만족하는 수를 찾는 상황에서 시작한다. 실수 전체의 해를 묻는 문제와 달리, 허용되는 값이 정수로 제한되어 있다는 점이 먼저 달라진다. −2는 열린 경계이므로 제외하고, 3/2는 닫힌 경계이지만 정수가 아니므로 그대로 정답 목록에 들어가지 않는다. 따라서 −2보다 크고 3/2 이하인 정수를 수직선에 표시하면 −1, 0, 1만 남는다. 각 수를 원래 조건에 대입하면 −1<−2는 아니고 −2<−1은 참이며, 1≤3/2도 참이다. 반대로 인접한 정수 −2는 첫 조건에서 제외되고, 2는 둘째 조건을 만족하지 않는다. 이렇게 조건이 바뀐 문제에서는 계산 결과뿐 아니라 어떤 수를 허용했는지까지 함께 적어야 한다.

동시에 만족한다는 뜻을 기본 문제로 확인하기

이제 실수 x가 x>−1과 2x≤6을 동시에 만족하는 기본 상황으로 돌아간다. 먼저 둘째 부등식을 2로 나누면 x≤3이 된다. 두 조건을 각각 수직선에 표시한 뒤 “‘동시에’는 합친 부분인가, 겹친 부분인가?”라고 확인한다. 동시에 만족한다는 말은 두 해집합의 합집합이 아니라 교집합을 뜻하므로, −1보다 크면서 3 이하인 부분만 남긴다. 만약 x>−1 또는 x≤3이라고 적어 모든 실수라고 했다면, 학생이 합집합으로 읽은 것인지 살핀다. 또는 구간은 제대로 찾았지만 정수만 묻는 문제에서 정수 조건을 빠뜨렸는지도 구분해야 한다. 오답 하나만 보고 원인을 정하지 않고, 두 수직선의 경계와 포함 여부를 학생이 직접 말하고 표시하게 한다.

가린 풀이를 다시 만들고 경계를 검산하기

설명을 들은 뒤에는 교사가 정답을 바로 제시하지 않고, −1의 위치에는 열린 점, 3의 위치에는 닫힌 점을 그리게 한다. 학생이 직접 “겹치는 부분은 −1<x≤3”이라고 이어 쓰면 해집합은 (−1,3]이다. −1은 첫 조건 x>−1에 맞지 않아 제외되고, 3보다 큰 수는 둘째 조건 x≤3에 어긋난다. 3은 2×3=6이므로 포함된다. 이처럼 경계값을 각각의 원래 조건에 대입해 검산하면 단순한 수치 확인을 넘어 끝점의 성립 조건을 확인할 수 있다. 같은 문제의 식이나 표현만 바꾼 경우에는 같은 기준을 적용하지만, 실수 전체에서 정수로 허용 범위가 바뀐 경우에는 구간을 구한 뒤 정수만 골라내야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 기본 문제의 조건, 수직선, 풀이와 정답·검산 문장을 남겨 두고 풀이와 유도 표시를 가린 상태에서 다시 시작하게 한다. 학생은 계산 결과와 성립 조건을 각각 적은 뒤, −2<x≤3/2에 −1, 0, 1을 대입하고 −2와 2가 왜 빠지는지 대조한다. 다음 점검에서도 경계가 흔들리면 열린 점과 닫힌 점을 먼저 표시하고, 실수 해와 정수 해의 표현을 나누어 적는다.