태전동 고등수학과외

점 P(2,−3,4)를 x축에 정사영한 점을 구하는 문제에서 예시 오답이 (2,−3,0)으로 나왔다면, 먼저 정답과 어긋난 지점을 확인해야 한다. 이 좌표는 z=0인 xy평면 위의 점을 떠올린 결과일 수 있지만, 문제에서 요구한 대상은 평면이 아니라 x축이다. x축 위의 점은 y좌표와 z좌표가 모두 0이어야 하므로 (2,−3,0)은 애초에 x축 위에 있지 않다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답만 고치기보다 이 조건을 학생이 직접 표시하고, 사영의 방향과 검산 결과를 차례로 대조하게 한다.

평면에 내린 것인지 직선에 내린 것인지 구별하기

정사영은 대상에 수직인 방향으로 내린 수선의 발을 뜻한다. 따라서 먼저 “사영점은 어디에 있어야 하는가?”를 묻는다. x축 위의 점을 일반적으로 (t,0,0)으로 놓으면, P와 이 점을 잇는 거리의 제곱은 (t−2)²+(0+3)²+(0−4)², 즉 (t−2)²+9+16이다. 이 값은 (t−2)²이 가장 작아지는 t=2에서 최소가 된다. 학생이 모양만 보고 평행이나 수직을 추정하는지, 또는 정사영에서 길이와 넓이의 배율을 혼동하는지는 별도로 확인해야 한다. “x축 위 점의 y,z좌표에는 어떤 조건이 있는가?”라는 질문에 0, 0이라고 답하는지 살피면 두 가능성을 구분할 수 있다.

거리의 최솟값으로 수정 풀이 세우기

학생이 직접 계산한다면 x축 위의 임의의 점을 Q(t,0,0)으로 두고 PQ²=(t−2)²+9+16을 적는다. t=2에서 최솟값이므로 Q=(2,0,0)이고, 이것이 정사영점이다. 계산 뒤에는 좌표 조건과 수직 조건을 각각 확인한다. P에서 Q로 향하는 변위는 (0,−3,4)이며, x축 방향 벡터 (1,0,0)과의 내적은 0이다. 따라서 연결선은 x축 방향에 수직이고 Q는 x축 위에 있어 정사영의 정의를 만족한다. 단순히 한 수치가 맞았다는 이유로 풀이 전체가 옳다고 하지 않고, 대상 위에 놓였는지와 수선인지가 모두 성립하는지 구분해 적는다.

조건만 남긴 상태에서 좌표를 다시 세우기

이제 풀이 순서와 정답을 가린 채 문제와 필요한 조건만 남긴다. 점 P(2,−3,4)를 xy평면에 정사영하라는 자료를 제시하고, xy평면의 조건 z=0, 평면 위에서 유지되는 좌표가 x와 y라는 점만 확인하게 한다. 학생은 P에서 수직으로 내린 점을 스스로 구성하여 (2,−3,0)을 얻고, 연결선이 z축 방향이며 사영점이 xy평면 위에 있는지 대조한다. 이는 표현만 바꾼 문제가 아니라 대상이 직선에서 평면으로 바뀐 경우다. 다시 직선 정사영을 제시할 때에는 x축 위 점의 형태와 거리 제곱을 직접 세우게 하고, 꼭짓점 좌표나 대상 평면에 대한 수선의 발을 먼저 표시하게 한다. 마지막에는 풀이와 정답을 보지 않은 상태에서 검산 결과까지 일치하는지 확인하며, 다음 문제에서도 ‘어디에 놓이는 점인가, 어떤 방향으로 수직인가’를 먼저 적는 습관으로 이어 간다.