침산동 고등수학과외

두 주사위를 공정하게 한 번씩 던져 눈의 합이 7일 확률을 묻자, 이렇게 답했다면 어떨까요? “합은 2부터 12까지 11종류이므로 1/11이다.” 그런데 이어서 공정한 동전 두 개를 던져 앞면이 정확히 한 번 나올 확률을 구하는 상황에서는 결론이 달라집니다. 두 문제의 허용되는 근원사건과 묶음의 크기를 나란히 놓아야 같은 ‘경우의 수’라는 말이 어디까지 성립하는지 알 수 있습니다.

합계 11종류를 곧바로 같은 가능성으로 보지 않기

주사위 두 개를 구별해 첫 번째와 두 번째 눈의 순서를 기록하면 표본공간은 (1,1)부터 (6,6)까지 모두 36개의 순서쌍입니다. 두 주사위가 공정하고 독립적이므로 이 36개 근원사건은 같은 가능성을 가집니다. 반면 합 2는 (1,1) 한 가지뿐이고, 합 7은 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 여섯 가지입니다. 합 12도 (6,6) 하나뿐이므로 합계 2부터 12까지 11종류 자체는 같은 가능성을 갖지 않습니다.

이때 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않습니다. 결과를 합계로 묶을 때 각 묶음의 크기가 같은지 확인하지 않았을 수도 있고, 주사위의 순서를 지워 사건의 단위를 섞었을 수도 있습니다. 또는 원하는 사건과 전체 사건을 다른 기준으로 세었는지도 살펴야 합니다. “합 2와 합 7을 만드는 순서쌍 수는 같은가?”라고 묻고, 학생이 두 목록을 직접 적어 비교하게 합니다.

학생이 순서쌍을 세어 확률의 단위를 맞추기

배움노트 고등수학 수업 수업에서는 교사가 정답을 바로 말하기보다 표본공간의 기준을 먼저 고정합니다. 수학적 확률의 개수비는 근원사건들이 같은 가능성을 가질 때 사용할 수 있으므로, 원하는 사건과 전체를 모두 순서쌍으로 세어야 합니다. 학생이 합 7인 순서쌍을 직접 표시하면 여섯 개이고, 전체는 36개입니다.

따라서 학생의 수정 풀이는 “합이 7인 경우는 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)의 6개이다. 전체 순서쌍은 36개이므로 확률은 6/36=1/6이다.”가 됩니다. 주사위를 구별하지 않고 (1,6)과 (6,1)을 하나로 합치면 전체를 세는 기준도 함께 바뀌어야 하므로, 이번 문제에서는 순서를 유지하는 것이 조건입니다.

검산은 단순히 숫자를 다시 계산하는 데서 끝나지 않습니다. 합 7의 순서쌍 여섯 개를 빠뜨리지 않았는지 표시하고, 6/36을 약분해 1/6이 되는지 확인합니다. 합 2나 합 12처럼 한 가지 순서쌍만 갖는 합과 비교하면 합계별 가능성이 서로 다르다는 사실도 확인할 수 있습니다.

조건이 바뀐 동전 문제에 같은 기준 다시 적용하기

표현만 바뀐 문제와 조건이 실제로 바뀐 문제를 구별해야 합니다. 주사위 문제에서 합을 숫자로 묶어 부르는 것은 같은 시행을 다르게 표현한 것이지만, 다음에는 대상이 공정한 동전 두 개로 바뀝니다. 이때는 두 동전의 앞뒤 결과를 순서대로 적어 표본공간을 다시 정해야 합니다. 바뀐 조건인 ‘앞면이 정확히 한 번’을 먼저 표시한 뒤 풀이를 시작합니다.

표본공간은 {앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤}이고 네 결과는 같은 가능성을 가집니다. 앞면이 정확히 한 번인 결과는 앞뒤와 뒤앞 두 개이므로 확률은 2/4=1/2입니다. 앞면이 0회인 앞앞과 2회인 뒤뒤는 각각 1/4, 앞면이 1회인 경우는 1/2이며, 세 확률의 합이 1인지 대조하면 결과를 확인할 수 있습니다.

다음 연습에서는 문제와 조건, 필요한 표본공간만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작합니다. 학생은 오답의 마지막 줄을 비워 둔 채 바른 결론과 그 이유를 직접 채웁니다. 이후 앞면 개수처럼 결과를 묶는 방식이 달라져도 묶음의 크기가 같은지 먼저 표시하고, 가능성의 단위가 섞이면 순서쌍이나 목록으로 통일한 뒤 계산합니다.