고성동 고등수학과외

“0/0이니 0”이라는 답을 먼저 비교하기

배움노트 고등수학 수업에서 미적분Ⅱ의 삼각함수 극한을 다룰 때는 답보다 식의 의미를 먼저 확인한다. 문제는 x가 라디안일 때 lim(x→0)(1−cos x)/x²를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 “분자와 분모를 각각 대입해 0/0이 나왔으니 극한도 0”이라고 판단한 셈이다. 그러나 0/0은 답이 아니라 바로 대입만으로 결정할 수 없는 형태라는 표시다. 실제 검산 결과는 1/2이므로 두 결과를 나란히 놓고, 어느 변형에서 값이 달라졌는지 추적해야 한다.

항등식과 라디안 조건을 직접 표시하기

먼저 “1−cos x에 1+cos x를 곱하면 어떤 항등식이 되는가?”라고 묻는다. 학생은 (1−cos x)(1+cos x)=1−cos²x=sin²x임을 직접 써야 한다. 따라서 원래 식은 sin²x/[x²(1+cos x)]로 유리화된다. 여기서 합각 공식은 단순히 함수값을 더하는 식이 아니라 두 함수의 곱과 합으로 나타나는 관계임을 구별한다. 이어 각의 단위가 라디안인지, cos의 배각 변형에서 안쪽 계수를 빠뜨리지 않았는지, 삼각함수 미분에서 부호를 잘못 기억하지 않았는지를 확인한다. 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 학생이 항등식과 조건을 표시하며 자신의 단계를 대조하게 한다.

교사는 기본 극한 sin u/u→1을 사용할 수 있도록 분자와 분모의 모양을 맞추게 한다. x가 라디안이라는 조건이 있어야 이 기본 극한을 그대로 적용할 수 있다. 또한 미분의 관점에서 −cos x의 x=0에서의 미분계수가 sin 0=0이라는 사실은 뒤의 비교 문제를 점검하는 근거가 되지만, 지금의 x² 분모 문제를 단순 대입으로 대신하지는 않는다.

수정 풀이를 가리고 다시 적용하기

학생이 직접 이어 쓸 줄은 sin²x/[x²(1+cos x)]=(sin x/x)²/(1+cos x)이다. x→0에서 (sin x/x)²→1이고 1+cos x→2이므로 극한은 1/2이다. 근방에서 1+cos x는 2에 가까워 0이 아니므로 이 나눗셈은 성립한다. 원의 표준형처럼 겉모양만 보고 판단하지 않고, 각 식의 성립 조건과 남는 인자를 함께 검산해야 한다.

이제 문제, x는 라디안이라는 조건, 그리고 필요한 기본 극한만 남기고 풀이와 정답을 가린 채 lim(x→0)(1−cos x)/x를 다시 시작한다. 같은 유리화 방법을 적용하면 x·[(1−cos x)/x²]로 쓸 수 있고, x→0 및 괄호→1/2이므로 결과는 0이다. 이번에는 분모가 x²에서 x로 바뀌어 x라는 인자가 하나 남는다는 점이 핵심이다. 표현만 바뀐 것인지 조건 자체가 바뀐 것인지 구별하고, “분모가 한 차수 줄어 남은 x의 극한이 곱해진다”고 한 문장으로 설명하게 한다.

마지막에는 정답을 먼저 보이지 않은 채 분자·분모의 형태와 제외해야 할 조건을 표시하게 한다. 막히면 기본 극한의 모양을 먼저 맞추고 남은 인자의 극한을 따로 구한다. 두 문제의 풀이와 정답을 대조한 뒤, 다음 삼각함수 미분 문제에서도 라디안 여부와 배각의 안쪽 계수를 먼저 확인하는 습관으로 연결한다.